Determine e esboce o domínio da função:

f)

f x , y = ln ⁡ x y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o domínio (e seu esboço) da seguinte função:

f x , y = ln ⁡ x y

O domínio de uma função trata-se do conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) para os quais a função está definida.

Por exemplo, se a função estiver definida apenas para valores reais de x e y , então o domínio seria o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) pertencentes aos números reais.

Dessa forma, vemos que nossa função só existe somente se o argumento do logaritmo for positivo e o resultado do logaritmo for não-negativo, ou seja:

x y > 0

E

ln ⁡ x y > 0

Lembrando que estamos trabalhando com números reais!!

Agora temos que resolver essa desigualdade!! Bora lá!

Passo 2

Bom... A primeira desigualdade nos diz que x e y devem ter o mesmo sinal, ou seja, ambos devem ser positivos ou ambos devem ser negativos.

Por outro lado, a segunda desigualdade nos diz que o ponto ( x ,   y ) deve estar no primeiro ou no terceiro quadrante do plano x y .

Isso ocorre porque l n ( x y ) é positivo para x e y ambos positivos ou ambos negativos, e é negativo para x e y de sinais opostos.

Portanto, o domínio D da função f ( x ,   y ) é o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) tais que y ≥ - 1 e   - y - 1 ≤ x 2 ≤ 1 - y , ou seja:

D = { x , y ∈ R | x > 0 , y > 0 ∪ x < 0 , y < 0

Passo 3

Por fim, plotando o domínio da função, temos:

Onde a função está representada em azul e o domínio, em roxo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D = { x , y ∈ R | x > 0 , y > 0 ∪ x < 0 , y < 0

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