Determine e esboce o domínio da função:

d)

f x , y = arcsin ⁡ x 2 + y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar o domínio (e seu esboço) da seguinte função:

f x , y = arcsin �� x 2 + y

O domínio de uma função trata-se do conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) para os quais a função está definida.

Por exemplo, se a função estiver definida apenas para valores reais de x e y , então o domínio seria o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) pertencentes aos números reais.

Dessa forma, vemos que nossa função só existe somente para valores de ( x , y ) tais que x 2 + y esteja no intervalo fechado [ - 1 ,   1 ] , ou seja:

- 1 > x 2 + y > 1

Lembrando que estamos trabalhando com números reais!!

Agora temos que resolver essa desigualdade!! Bora lá!

Passo 2

Bom... Resolvendo a inequação, temos:

- 1 > x 2 + y > 1 ∴

Subtraindo todos os termos por - y , temos:

- 1 - y > x 2 + y - y > 1 - y ∴

- 1 + y > x 2 > 1 - y

Perceba que se y < - 1 , a desigualdade não é satisfeita para nenhum valor de x .

Por outro lado, se y ≥ - 1 , a desigualdade é satisfeita para todo valor de x .

Portanto, o domínio D da função f ( x ,   y ) é o conjunto de todos os pares ordenados ( x ,   y ) tais que y ≥ - 1 e   - y - 1 ≤ x 2 ≤ 1 - y , ou seja:

D = { x , y ∈ R | y ≥ - 1 e   - y + 1 ≤ x 2 ≤ 1 - y }

Passo 3

Por fim, plotando o domínio da função, temos:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D = { x , y ∈ R | y ≥ - 1 e   - y + 1 ≤ x 2 ≤ 1 - y }

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