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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1 - Listas de Cálculo 1, Questão 5.4

Mostre que c o s ( a r c s i n ( x ) ) = ± 1 - x 2 e que s i n ( a r c t a n ( x ) ) = y ± x 2 1 + x 2 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que mostrar que

c o s c o s   a r c s i n a r c s i n   x     = ± 1 - x 2

e

s i n s i n   a r c t a n a r c t a n   x     = y = ± x 2 1 + x 2

Então vamos lá. Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que

c o s   a r c s i n   x     = ± 1 - x 2

Temos que

θ = a r c s i n   x   = > s i n   θ = x  

Como

s i n   θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a  

Podemos considerar que

c a t e t o   o p o s t o = x , h i p o t e n u s a = 1 ,

e pelo teorema de Pitágoras,

c a t e t o   a d j a c e n t e = ± 1 - x 2 .

Então, temos que

c o s   θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a   = ± 1 - x 2 1 = ± 1 - x 2

Assim, mostramos que

c o s   a r c s i n   x     = ± 1 - x 2 .

Passo 3

Agora vamos mostrar que

s i n   a r c t a n   x     = y = ± x 2 1 + x 2

Temos que

θ = a r c t a n   x   = > t a n   θ = x  

Como

t a n   θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e  

Podemos considerar que

c a t e t o   o p o s t o = x , c a t e t o   a d j a c e n t e = 1 ,

e pelo teorema de Pitágoras,

h i p o t e n u s a = ± 1 + x 2 .

Então, temos que

s i n   θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a   = x ± 1 + x 2 = ± x 2 1 + x 2

Assim, mostramos que

s i n   a r c t a n   x     = y = ± x 2 1 + x 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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