Encontre a área da região sombreada na figura abaixo, a qual é delimitada pela curva r = 1 2 e uma pétala de r = cos ⁡ 3 θ .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular a área entre a curva r = 1 2 e a pétala da rosácea r = cos ⁡ 3 θ . Aqui, nós precisamos lembrar que pra calcular a área de regiões polares nós temos a fórmula:

A = 1 2 ∫ α β r 2 d θ

Nós temos a função r , mas quem vão ser nossos intervalos de integração? Para descobrir nós precisamos igualar as duas equações de r :

1 2 = cos ⁡ 3 θ

Isolando θ , temos:

θ = arccos ⁡ 1 2 3 = π 9

Então, nós vamos resolver a integral com 0 ≤ θ ≤ π 9 . Vamos lá!

Passo 2

Montando a nossa integral, temos:

A = 1 2 ∫ 0 π / 9 r 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 9 cos ⁡ 3 θ 2 d θ

Elevando ao quadrado:

A = 1 2 ∫ 0 π / 9 cos 2 ⁡ 3 θ d θ

Usando a propriedade trigonométrica: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

A = 1 2 ∫ 0 π / 9 1 + cos ⁡ 6 θ d θ

A = 1 2 ∫ 0 π 9 1 d θ + ∫ 0 π 9 cos ⁡ 6 θ d θ

Resolvendo cada integral:

A = 1 2 θ + 1 6 sin ⁡ 6 θ 0 π 9

Aplicando os intervalos de integração:

A = 1 2 π 9 + 1 6 sin ⁡ 2 π 3 - 0

A = 1 2 π 9 - 1 6 3 2  

E temos nossa área:

A = π 18 - 3 24

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = π 18 - 3 24

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