Encontre a área da região sombreada na figura abaixo, a qual é delimitada pela curva e uma pétala de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente calcular a área entre a curva e a pétala da rosácea . Aqui, nós precisamos lembrar que pra calcular a área de regiões polares nós temos a fórmula:
Nós temos a função , mas quem vão ser nossos intervalos de integração? Para descobrir nós precisamos igualar as duas equações de :
Isolando , temos:
Então, nós vamos resolver a integral com . Vamos lá!
Passo 2
Montando a nossa integral, temos:
Elevando ao quadrado:
Usando a propriedade trigonométrica: , temos:
Resolvendo cada integral:
Aplicando os intervalos de integração:
E temos nossa área:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas
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Esboce a curva polar.r = sen 4θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.x = senh(t) y = cosh(t)
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polarr = e * d / (1 + e * sen(θ))
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônicar = 1 / (1 - 2 * sen(θ)) e trace a cônica e sua diretriz.(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 * pi / 4 ,
r = 9 / (6 + 2 * cos(θ)) (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica