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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1 - Listas de Cálculo 1, Questão 5.2a

Encontre a forma Fase-Amplitude em termos de uma senoide e, também, em termos de uma cossenóide, das seguintes funções:

(a) x t = 1 2 cos ⁡ 2 t + 3 4 s i n ⁡ ( 2 t ) ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que encontrar a forma Fase-Amplitude em termos de uma senóide e, também, em termos de uma cossenóide da seguinte função:

x t = 1 2 cos ⁡ 2 t + 3 4 s i n ⁡ ( 2 t )

Ou seja, escrever da seguinte forma

x t = A s sin ⁡ 2 t + θ s e x t = A c cos ⁡ 2 t + θ c

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos escrever na forma senoide

x t = A s sin ⁡ 2 t + θ s

Temos que lembrar que

A s sin ⁡ 2 t + θ s = A s [ sin ⁡ 2 t cos ⁡ θ s + c o s ⁡ ( 2 t ) s i n ⁡ ( θ s ) ]

Igualando a função

1 2 cos ⁡ 2 t + 3 4 s i n ⁡ ( 2 t ) = A s [ sin ⁡ 2 t cos ⁡ θ s + c o s ⁡ ( 2 t ) s i n ⁡ ( θ s ) ]

Então, temos as seguintes relações

1 2 = A s s i n ⁡ ( θ s )

3 4 = A s c o s ⁡ ( θ s )

Temos então que,

ta n ⁡ θ s = 2 3   = > θ s = arctan ⁡ 2 3 = > θ s = 33,68 0

Passo 3

Para encontrar a amplitude fazemos

A s = 1 2 sin ⁡ θ s = 1 2 s i n ⁡ ( 33,68 0 ) = 0,9014

ou

A s = 3 4 c o s ⁡ ( θ s ) = 3 4 c o s ⁡ ( 33,68 0 ) = 0,9014

Assim,

A s = 0,9014

E

x t = 0,9014   sin ⁡ 2 t + 33,68 0

Passo 4

Agora vamos escrever da forma cossenoide

x t = A c co s ⁡ 2 t + θ c

Temos que lembrar que

A c co s ⁡ 2 t + θ c = A c [ sin ⁡ 2 t sin ⁡ θ c + c o s ⁡ ( 2 t ) c o s ⁡ ( θ c ) ]

Igualando a função

1 2 cos ⁡ 2 t + 3 4 s i n ⁡ ( 2 t ) = A c [ sin ⁡ 2 t sin ⁡ θ c + c o s ⁡ ( 2 t ) c o s ⁡ ( θ c ) ]

Então, temos as seguintes relações

1 2 = A c c o s ⁡ ( θ c )

3 4 = A c s i n ⁡ ( θ c )

Temos então que,

tan ⁡ θ c = 3 2   = > θ c = arctan ⁡ 3 2 = > θ c = 56,31 0

Passo 5

Para encontrar a amplitude fazemos

A c = 1 2 co s ⁡ θ c = 1 2 c o s ⁡ ( 56,31 0 ) = 0,9014

ou

A c = 3 4 s i n ⁡ ( θ c ) = 3 4 s i n ( 56,31 0 ) = 0,9014

Assim,

A c = 0,9014

E

x t = 0,9014   co s ⁡ 2 t + 56,31 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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