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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1 - Listas de Cálculo 1, Questão 5.2b

Encontre a forma Fase-Amplitude em termos de uma senoide e, também, em termos de uma cossenóide, das seguintes funções:

(b) x t = - 2 3 cos ⁡ 10 t + 1 2 s i n ⁡ ( 10 t ) ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que encontrar a forma Fase-Amplitude em termos de uma senóide e, também, em termos de uma cossenóide da seguinte função:

x t = - 2 3 cos ⁡ 10 t + 1 2 s i n ⁡ ( 10 t )

Ou seja, escrever da seguinte forma

x t = A s sin ⁡ 10 t + θ s e x t = A c cos ⁡ 10 t + θ c

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos escrever na forma senoide

x t = A s sin ⁡ 10 t + θ s

Temos que lembrar que

A s sin ⁡ 10 t + θ s = A s [ sin ⁡ 10 t cos ⁡ θ s + c o s ⁡ ( 10 t ) s i n ⁡ ( θ s ) ]

Igualando a função

- 2 3 cos ⁡ 10 t + 1 2 s i n ⁡ ( 10 t ) = A s [ sin ⁡ 10 t cos ⁡ θ s + c o s ⁡ ( 10 t ) s i n ⁡ ( θ s ) ]

Então, temos as seguintes relações

- 2 3 = A s s i n ⁡ ( θ s )

1 2 = A s c o s ⁡ ( θ s )

Temos então que,

ta n ⁡ θ s = - 4 3   = > θ s = arctan ⁡ - 4 3 = > θ s = - 53,13 0

Passo 3

Para encontrar a amplitude fazemos

A s = - 2 3 sin ⁡ θ s = 1 2 s i n ⁡ ( - 53,13 0 ) = 0 , 8333

ou

A s = 1 2 c o s ⁡ ( θ s ) = 1 2 c o s ⁡ ( - 53,13 0 ) = 0,8333

Assim,

A s = 0,8333

E

x t = 0,8333 sin ⁡ 2 t - 53,13 0

Passo 4

Agora vamos escrever da forma cossenoide

x t = A c co s ⁡ 10 t + θ c

Temos que lembrar que

A c co s ⁡ 10 t + θ c = A c [ - sin ⁡ 10 t sin ⁡ θ c + c o s ⁡ ( 10 t ) c o s ⁡ ( θ c ) ]

Igualando a função

- 2 3 cos ��� 10 t + 1 2 s i n ⁡ ( 10 t ) = A c [ - sin ⁡ 2 t sin ⁡ θ c + c o s ⁡ ( 2 t ) c o s ⁡ ( θ c ) ]

Então, temos as seguintes relações

- 2 3 = A c c o s ⁡ ( θ c )

1 2 = - A c s i n ⁡ ( θ c )

Temos então que,

tan ⁡ θ c = 3 4   = > θ c = arctan ⁡ - 3 4   = > θ c = 36,87 0

Passo 5

Para encontrar a amplitude fazemos

A c = - 2 3 co s ⁡ θ c = - 2 3 c o s ⁡ ( 36,87 0 ) = - 0,833

ou

A c = - 1 2 s i n ⁡ ( θ c ) = - 1 2 s i n ( 36,87 0 ) = - 0,833

Assim,

A c = - 0 , 833

E

x t = - 0 , 833   co s ⁡ 10 t + 3 6,87 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

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