7. Encontre os zeros e estude o sinal das seguintes funções polinomiais. Em seguida associe cada função com seu gráfico

(a) f x = - 3 x 5 - 17 x 4 - 30 x 3 - 18 x 2 + x + 3 ,   x ∈ R ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter as raízes de f x e determinar qual dos gráficos melhor representa a função.

Como podemos fazer isso? 😎

Como a função é de grau muito alto, podemos usar o teorema das raízes racionais.

Nesse teorema, olhamos para o termo independente do polinômio, no caso: 3 e para o termo associado à variável de maior grau, no caso: - 3 .

Esse teorema nos diz que as raízes de f x devem ser múltiplos da razão desses termos.

Além desses pontos, podemos obter o ponto em que f cruza o eixo y , ou seja, quando x = 0 .

A partir desses pontos, podemos determinar qual dos gráficos é o da nossa função.

Bora lá! 😁

Passo 2

Primeiro definimos os múltiplos do termo independente 3

p = 1 , - 1,3 , - 3

Agora para a constante associada ao termo de maior grau - 3

q = 1 , - 1,3 , - 3

Assim, os candidatos a raízes são as combinações de p / q

p q = 1 1 , 1 - 1 , 1 3 , 1 - 3 , - 1 1 , - 1 - 1 , - 1 3 , - 1 - 3 , 3 1 , 3 - 1 , 3 3 , 3 - 3 , - 3 1 , - 3 - 1 , - 3 3 , - 3 - 3

Simplificando e eliminando os termos repetidos...

p q = 1 , - 1 , 1 3 , - 1 3 , 3 , - 3

Assim os candidatos a raízes são x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 3 , x 4 = - 1 3 , x 5 = 3 e x 6 = - 3 .

Substituindo x em f x vemos quais fazem f x = 0

Para x 1 :

f 1 = - 3 1 5 - 17 1 4 - 30 1 3 - 18 1 2 + 1 + 3 = - 64

Como f x 1 ≠ 0 , x 1 não é raiz.

Para x 2 :

f - 1 = - 3 - 1 5 - 17 - 1 4 - 30 - 1 3 - 18 - 1 2 + - 1 + 3 = 0

Agora f x 2 = 0 , logo x 2 é uma raiz

Para x 3 :

f 1 3 = - 3 1 3 5 - 17 1 3 4 - 30 1 3 3 - 18 1 3 2 + 1 3 + 3 = 0

Da mesma forma, x 3 é raiz de f x !

Para x 4 :

f - 1 3 = - 3 - 1 3 5 - 17 - 1 3 4 - 30 - 1 3 3 - 18 - 1 3 2 + - 1 3 + 3 = 128 81

Para x 5 :

f 3 = - 3 3 5 - 17 3 4 - 30 3 3 - 18 3 2 + 3 + 3 = - 3072

Por fim, para x 6 :

f - 3 = - 3 - 3 5 - 17 - 3 4 - 30 - 3 3 - 18 - 3 2 + - 3 + 3 = 0

Portanto, vemos que as raízes de f x são x = - 1 , x = 1 3 e x = - 3

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Por último, vamos obter o valor em x = 0 para vermos em qual ponto f x corta o eixo y

f 0 = - 3 0 5 - 17 0 4 - 30 0 3 - 18 0 2 + 0 + 3 = 3

Logo, y = 3 é o ponto que f x corta o eixo y .

Analisando as opções, vemos que apenas um dos gráficos tem duas raízes negativas e uma raiz positiva.

Então o gráfico que melhor representa a função f x é o gráfico I I

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

As raízes de f x são x = - 1 , x = 1 3 e x = - 3 ; gráfico I I

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