7. Encontre os zeros e estude o sinal das seguintes funções polinomiais. Em seguida associe cada função com seu gráfico

(c) h x = x 5 - 4 x 3 - x 2 + 4 ,   x ∈ R ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter as raízes de h x e determinar qual dos gráficos melhor representa a função.

Como podemos fazer isso? 😎

Como a função é de grau muito alto, podemos usar o teorema das raízes racionais.

Nesse teorema, olhamos para o termo independente do polinômio, no caso: 4 e para o termo associado à variável de maior grau, no caso: 1 .

Esse teorema nos diz que as raízes de h x devem ser múltiplos da razão desses termos.

Além desses pontos, podemos obter o ponto em que h cruza o eixo y , ou seja, quando x = 0 .

A partir desses pontos, podemos determinar qual dos gráficos é o da nossa função.

Bora lá! 😁

Passo 2

Primeiro definimos os múltiplos do termo independente 4

p = 1 , - 1 , 2 , - 2 , 4 , - 4

Agora para a constante associada ao termo de maior grau 1

q = 1 , - 1

Assim, os candidatos a raízes são as combinações de p / q

p q = 1 1 , 1 - 1 , 2 1 , 2 - 1 , - 2 1 , - 2 - 1 , 4 1 , 4 - 1 , - 4 1 , - 4 - 1

Simplificando e eliminando os termos repetidos...

p q = 1 , - 1 , 2 , - 2,4 , - 4

Assim os candidatos a raízes são x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 2 , x 4 = - 2 , x 5 = 4 e x 6 = - 4 .

Substituindo x em h x vemos quais fazem h x = 0

Para x 1 :

h 1 = 1 5 - 4 1 3 - 1 2 + 4 = 0

Como g x 1 = 0 , x 1 é raiz.

Para x 2 :

h - 1 = - 1 5 - 4 - 1 3 - - 1 2 + 4 = 6

f x 2 ≠ 0 , portanto, x 2 não é raiz.

Para x 3 :

h 2 = 2 5 - 4 2 3 - 2 2 + 4 = 0

Para x 4 :

h - 2 = - 2 5 - 4 - 2 3 - - 2 2 + 4 = - 2

Para x 5 :

h 4 = 4 5 - 4 4 3 - 4 2 + 4 = 756

Por fim, para x 6 :

h - 4 = - 4 5 - 4 - 4 3 - - 4 2 + 4 = - 780

Portanto, vemos que as raízes de h x são x = 1 , x = 2 e x = - 2

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Por último, vamos obter o valor em x = 0 para vermos em qual ponto h x corta o eixo y

h 0 = 0 5 - 4 0 3 - 0 2 + 4 = 4

Logo, y = 4 é o ponto que h x corta o eixo y .

Analisando as opções, vemos que apenas um dos gráficos tem duas raízes em que a distância até a origem é a mesma ( x = 2 e x = - 2 ).

Então o gráfico que melhor representa a função h x é o gráfico I

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

As raízes de h x são x = 1 , x = 2 e x = - 2 ; gráfico I

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