7. Esboce o gráfico das seguintes funções:

b) f(x) = 2 + 3 * x^2 - x^3

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter um esboço do gráfico da função f x = 2 + 3 x 2 - x 3 .

Parece de boa, não é? 😁

Pra essa tarefa, podemos usar algumas artimanhas para nos ajudar, por exemplo encontrar os pontos da curva que cortam o eixo x e o eixo y .

Podemos também encontrar a derivada da função e descobrir em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é crescente.

Vamos ver o que podemos fazer nesse caso! 👀

Passo 2

Primeiro vamos encontrar onde a função corta o eixo y fazendo x = 0

f 0 = 2 + 3 0 2 - 0 3 = 2

Como essa função é de grau 3 , nem sempre é simples obter as raízes, então vamos deixar esses dados pra lá.

Obtendo a derivada de f x para sabermos como é o seu comportamento, temos

f ' x = 6 x - 3 x 2

Colocando x em evidência...

f ' x = x 6 - 3 x

Fazendo f ' x = 0

x 6 - 3 x = 0 → x = 0 6 - 3 x = 0 → x = 0 x = 2

Vemos que em x = 0 e em x = 2 a função f x possui tangencia 0 , ou seja, a tangente da função nesses pontos é paralela ao eixo x .

Analisando os sinais de f ' x

6 x - 3 x 2 > 0

Temos que se x < 0 , f ' x é menor que 0 e, portanto, f x é decrescente, assim como se x > 2 .

Mas se 0 < x < 2 a função é crescente já que f ' x > 0 nesse intervalo.

Condensando essas informações em um gráfico, temos

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

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