7. Esboce o gráfico das seguintes funções:

d) f(x) = x / (x - 1)

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter um esboço do gráfico da função f x = x x - 1 .

Parece de boa, não é? 😁

Pra essa tarefa, podemos usar algumas artimanhas para nos ajudar, por exemplo encontrar os pontos da curva que cortam o eixo x e o eixo y .

Podemos também encontrar a derivada da função e descobrir em quais intervalos ela é crescente e em quais intervalos ela é crescente.

Vamos ver o que podemos fazer nesse caso! 👀

Passo 2

Primeiro vamos encontrar onde a função corta o eixo y fazendo x = 0

f 0 = 0 0 - 1 = 0

Agora igualando f x a 0 , podemos obter onde a função corta o eixo x

x x - 1 = 0 → x = 0

Assim, vemos que a função passa pela origem do sistema.

Perceba que em x = 1 a função possui uma descontinuidade, então vamos ver como ela se comporta nesse ponto.

lim x → 1 ⁡ x x - 1 → lim x → 1 + ⁡ x x - 1 lim x → 1 - ⁡ x x - 1

Se x se aproxima de 1 para valores um pouco maiores o denominador tende a 0 porém sempre com sinal positivo, ou seja

lim x → 1 + ⁡ x x - 1 = 1 0 = ∞

Já se x se aproxima de 1 mas com valores um pouco menores o denominador tende a 0 mas sempre com valores negativos, ou seja

lim x → 1 - ⁡ x x - 1 = - 1 0 = - ∞

Assim, vemos que a função possui uma assíntota vertical em x = 1 onde pela direita a função tende a e pela esquerda a função tende a - ∞ .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos ver como a função se comporta em x muito grande em modulo

lim x → ± ∞ ⁡ x x - 1

Dividindo tudo por x ...

lim x → ± ∞ ⁡ x x x x - 1 x = lim x → ± ∞ ⁡ 1 1 - 1 x

Assim, quando aplicamos o limite, perceba que o termo 1 / x tende a 0 , então

lim x → ± ∞ ⁡ x x - 1 = 1

Portanto, temos outra assíntota, dessa vez horizontal em y = 1 .

Condensando essas informações em um gráfico, temos

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

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