Esboce o gráfico das seguintes funções.

(a) f x = x e - x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico da função f x = x e - x . Pra isso, vamos começar definindo o domínio da função, que são os valores que x pode assumir.

Em seguida, vamos verificar se a função tem assíntotas, calculando os limites. Depois, vamos derivar a função e verificar onde ela é crescente e decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Vamos, então, derivar novamente e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde temos concavidade para baixo. A partir disso tudo, vamos conseguir escoboçar direitinho nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo o domínio da nossa função. Pra isso, vamos analisar se ela possui alguma restrição, se existem valores que x não pode assumir.

Bom, repare que em f x = x e - x , temos um produto de uma função polinomial com uma função exponencial. Em geral, funções polinomiais não possuem nenhuma restrição no domínio, x pode assumir qualquer valor em R . E para as funções exponenciais é a mesma coisa, observe que podemos colocar qualquer valor de x no expoente, que não tem problema nenhum.

Então, o domínio da nossa função será:

D = x ∈ R   - ∞ ≤ x ≤ ∞ }

Passo 3

Agora vamos verificar se a nossa função possui assíntotas horizontais, calculando o limite da nossa função pra quando x tende a mais e menos infinito. Calculando o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x e - x

Reescrevendo usando a regra de L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ x 1 e - x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x

Aplicando o limite:

1 ∞ = 0

Agora quando x tende a menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = lim x → - ∞ ⁡ x ∙ lim x → - ∞ ⁡ e - x

= ( - ∞ ) ∙ ∞ = - ∞

Então, quando x tende a infinito por valores negativos, nossa função também vai pra infinito por valores negativos. Agora quando x tende a infinito por valores positivos, nossa função tende a uma constante, indicando que nós temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Além disso, como nossa função não tem nenhuma restrição no domínio, também não temos assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, calculando a derivada da função, vamos vericar onde ela é crescente e decrescente. Calculando a primeira derivada, usando a regra do produto, temos:

f ' x = e - x - x e - x

Igualando o resultado a zero, vamos ter os pontos críticos:

e - x - x e - x = 0

e - x 1 - x = 0

Como e - x nunca é igual a zero, temos:

1 - x = 0

x = 1

Usando esse ponto crítico, nós conseguimos avaliar os intervalos de crescimento e decrescimento da função através do estudo de sinal da derivada:

Repare que de - ∞ até 1 , nossa derivada é positiva e nossa função cresce. Depois de x = 1 , nossa função passa a decrescer, e ela vai se aproximando cada vez mais de zero, como a gente viu no passo anterior.

Passo 5

Derivando novamente, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são aqueles pontos onde a curva muda de concavidade. Usando f ' x = e - x - x e - x , calculamos a segunda derivada:

f ' ' x = - e - x - e - x + x e - x

f ' ' x = - 2 e - x + x e - x = e - x ( x - 2 )

Igualando a zero, temos:

e - x x - 2 = 0

x - 2 = 0 → x = 2

Então, temos um ponto de inflexão em x = 2 . Agora já podemos montar nosso gráfico.

Passo 6

Bom, já sabemos que nossa função tem o domínio contínuo em todo R , que tem uma assíntota horizontal em y = 0 , que ela é crescente até x = 1 e decrescente depois desse ponto e que a função tem um ponto de inflexão em x = 2 . Juntando todas essas informações, construímos nosso gráfico de f x = x e - x :

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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