Esboce o gráfico das seguintes funções.

(b) g x = x 2 e - x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico da função g x = x 2 e - x . Pra isso, vamos começar definindo o domínio da função, que são os valores que x pode assumir.

Em seguida, vamos verificar se a função tem assíntotas, calculando os limites. Depois, vamos derivar a função e verificar onde ela é crescente e decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Vamos, então, derivar novamente e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde temos concavidade para baixo. A partir disso tudo, vamos conseguir escoboçar direitinho nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo o domínio da nossa função. Pra isso, vamos analisar se ela possui alguma restrição, se existem valores que x não pode assumir.

Bom, repare que em g x = x 2 e - x , temos um produto de uma função polinomial com uma função exponencial. Em geral, funções polinomiais não possuem nenhuma restrição no domínio, x pode assumir qualquer valor em R . E para as funções exponenciais é a mesma coisa, observe que podemos colocar qualquer valor de x no expoente, que não tem problema nenhum.

Então, o domínio da nossa função será:

D = x ∈ R   - ∞ ≤ x ≤ ∞ }

Passo 3

Agora vamos verificar se a nossa função possui assíntotas horizontais, calculando o limite da nossa função pra quando x tende a mais e menos infinito. Calculando o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e - x

Reescrevendo usando a regra de L’Hospital:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 e - x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x

Vamos aplicar L’Hospital de novo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 e x

Aplicando o limite:

2 ∞ = 0

Agora quando x tende a menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 ∙ lim x → - ∞ ⁡ e - x

= ∞ ∙ ∞ = ∞

Então, quando x tende a infinito por valores negativos, nossa função vai pra infinito por valores positivos. Agora quando x tende a infinito por valores positivos, nossa função tende a uma constante, indicando que nós temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Além disso, como nossa função não tem nenhuma restrição no domínio, também não temos assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, calculando a derivada da função, vamos vericar onde ela é crescente e decrescente. Calculando a primeira derivada, usando a regra do produto, temos:

f ' x = 2 x e - x - x 2 e - x

Igualando o resultado a zero, vamos ter os pontos críticos:

2 x e - x - x 2 e - x = 0

e - x 2 x - x 2 = 0

Como e - x nunca é igual a zero, temos:

2 x - x 2 = 0

x ( 2 - x ) = 0

x = 0   o u   x = 2

Usando esses dois pontos críticos, nós conseguimos avaliar os intervalos de crescimento e decrescimento da função através do estudo de sinal da derivada:

Repare que de - ∞ até 0 , nossa derivada é negativa e nossa função decresce. Depois ela passa a crescer até x = 2 , onde volta a decrescer, se aproximando de zero, como a gente viu no passo anterior.

Passo 5

Derivando novamente, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são aqueles pontos onde a curva muda de concavidade. Usando f ' x = e - x - x e - x , calculamos a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x e - x - x 2 e - x

f ' ' x = 2 e - x - 2 x e - x - 2 x e - x - x 2 e - x

Colocando e - x em evidência:

f ' ' x = e - x ( 2 - 4 x - x 2 )

Igualando a zero, temos:

e - x 2 - 4 x - x 2 = 0

2 - 4 x - x 2 = 0

Calculando as raízes, vamos obter os pontos de inflexão em:

x = - 2 - 6

E

x = - 2 + 6

Então, temos dois pontos de inflexão em x = - 2 - 6 e em x = - 2 + 6 . Agora já podemos montar nosso gráfico.

Passo 6

Bom, já sabemos que nossa função tem o domínio contínuo em todo R , que tem uma assíntota horizontal em y = 0 , que ela é decrescente até x = 0 , crescente de 0 a 2 , e decrescente de x = 2 até infinito, onde vai se aproximando da assíntota horizontal. Juntando todas essas informações, construímos nosso gráfico de f x = x 2 e - x :

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica