UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.3.4b
Esboce o gráfico das seguintes funções.
(b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico da função . Pra isso, vamos começar definindo o domínio da função, que são os valores que pode assumir.
Em seguida, vamos verificar se a função tem assíntotas, calculando os limites. Depois, vamos derivar a função e verificar onde ela é crescente e decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.
Vamos, então, derivar novamente e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde temos concavidade para baixo. A partir disso tudo, vamos conseguir escoboçar direitinho nossa função.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo o domínio da nossa função. Pra isso, vamos analisar se ela possui alguma restrição, se existem valores que não pode assumir.
Bom, repare que em , temos um produto de uma função polinomial com uma função exponencial. Em geral, funções polinomiais não possuem nenhuma restrição no domínio, pode assumir qualquer valor em . E para as funções exponenciais é a mesma coisa, observe que podemos colocar qualquer valor de no expoente, que não tem problema nenhum.
Então, o domínio da nossa função será:
Passo 3
Agora vamos verificar se a nossa função possui assíntotas horizontais, calculando o limite da nossa função pra quando tende a mais e menos infinito. Calculando o primeiro limite, temos:
Reescrevendo usando a regra de L’Hospital:
Vamos aplicar L’Hospital de novo:
Aplicando o limite:
Agora quando tende a menos infinito:
Então, quando tende a infinito por valores negativos, nossa função vai pra infinito por valores positivos. Agora quando tende a infinito por valores positivos, nossa função tende a uma constante, indicando que nós temos uma assíntota horizontal em .
Além disso, como nossa função não tem nenhuma restrição no domínio, também não temos assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, calculando a derivada da função, vamos vericar onde ela é crescente e decrescente. Calculando a primeira derivada, usando a regra do produto, temos:
Igualando o resultado a zero, vamos ter os pontos críticos:
Como nunca é igual a zero, temos:
Usando esses dois pontos críticos, nós conseguimos avaliar os intervalos de crescimento e decrescimento da função através do estudo de sinal da derivada:
Repare que de até , nossa derivada é negativa e nossa função decresce. Depois ela passa a crescer até , onde volta a decrescer, se aproximando de zero, como a gente viu no passo anterior.
Passo 5
Derivando novamente, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são aqueles pontos onde a curva muda de concavidade. Usando , calculamos a segunda derivada:
Colocando em evidência:
Igualando a zero, temos:
Calculando as raízes, vamos obter os pontos de inflexão em:
E
Então, temos dois pontos de inflexão em e em . Agora já podemos montar nosso gráfico.
Passo 6
Bom, já sabemos que nossa função tem o domínio contínuo em todo , que tem uma assíntota horizontal em , que ela é decrescente até , crescente de a , e decrescente de até infinito, onde vai se aproximando da assíntota horizontal. Juntando todas essas informações, construímos nosso gráfico de :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉