Esboce o gráfico das seguintes funções.

(c) h x = x log ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar o gráfico da função h x = x log ⁡ x . Pra isso, vamos começar definindo o domínio da função, que são os valores que x pode assumir.

Em seguida, vamos verificar se a função tem assíntotas, calculando os limites. Depois, vamos derivar a função e verificar onde ela é crescente e decrescente, onde ela não existe e onde temos pontos críticos de máximo ou mínimo.

Vamos, então, derivar novamente e observar onde temos pontos de inflexão, onde temos concavidade para cima e onde temos concavidade para baixo. A partir disso tudo, vamos conseguir escoboçar direitinho nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo o domínio da nossa função. Pra isso, vamos analisar se ela possui alguma restrição, se existem valores que x não pode assumir.

Bom, repare que em h x = x log ⁡ x , temos um produto de uma função polinomial com uma função logarítmica. Em geral, funções polinomiais não possuem nenhuma restrição no domínio, x pode assumir qualquer valor em R . Mas as funções logarítmicas só estão definidas para x positivo e diferente de zero, ou seja, x > 0 .

Então, o domínio da nossa função será:

D = x ∈ R     x > 0 }

Passo 3

Agora vamos verificar se a nossa função possui assíntotas horizontais, calculando o limite da nossa função pra quando x tende a mais e menos infinito. Calculando o primeiro limite, pra quando x tende a + ∞ , temos:

lim x → + ∞ ⁡ x log ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ log ⁡ x = ∞

Agora quando x tende a menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x log ⁡ x = ∄

Isso significa que o limite não existe, justamente porque a nossa função não está definida para valores negativos de x . Dessa forma, não temos nenhuma assíntota horizontal e nenhuma assíntota vertical.

Passo 4

Agora, calculando a derivada da função, vamos vericar onde ela é crescente e decrescente. Calculando a primeira derivada, usando a regra do produto, temos:

h ' x = log ⁡ x + x 1 x

h ' x = log ⁡ x + 1

Igualando o resultado a zero, vamos ter os pontos críticos:

log ⁡ x + 1 = 0

log ⁡ x = - 1

Aplicando a exponencial dos dois lados, temos:

x = e - 1 → x = 1 e

Então, esse é nosso único ponto crítico. Isso significa que, como a nossa função tem q ser maior do que zero, no intervalo de 0 < x < 1 / e nossa função decresce e se x > 1 / e , nossa função cresce.

Passo 5

Derivando novamente, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são aqueles pontos onde a curva muda de concavidade. Usando h ' x = log ⁡ x + 1 , calculamos a segunda derivada:

h ' ' x = 1 x

Como h ' ' x > 0 para todo x > 0 , nossa função vai ter sempre concavidade pra cima. Com essas informações, já podemos montar nosso gráfico.

Passo 6

Bom, já sabemos que nossa função tem o domínio contínuo para x > 0 , que não possui assíntotas e que ela é sempre crescente, de x = 0 até + ∞ . Assim, temos o gráfico o de h x = x log ⁡ x :

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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