1.4. Esboce os gráficos de:

b. f x , y = x x 2 + 1

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, nosso objetivo é obter o gráfico da função f x , y = x x 2 + 1 .

Tranquilo? 😉

Analisando a função, vemos que y não varia, até porque nem está presente na função. Isso significa que se esboçarmos a função no plano x y , já vamos obter o gráfico em três dimensões.

Então podemos tratar a função inicialmente como bidimensional.

Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos analisar algumas características da função...

Primeiro vemos que se trata da razão entre dois polinômios onde o polinômio do denominador é de maior grau. Assim se calcularmos limite de f x , y para x → ± ∞ vamos ver que a função tende a 0 , ou seja, para x grande, a função tende a 0 nos dois lados do gráfico.

Além disso, podemos usar sua derivada para analisar o comportamento da função.

Pela regra do quociente, vamos obter

f ' x , y = d x d x · x 2 + 1 - x · d x 2 + 1 d x x 2 + 1 2

f ' x , y = 1 · x 2 + 1 - x · 2 x x 2 + 1 2

f ' x , y = x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2

f ' x , y = 1 - x 2 x 2 + 1 2

A partir dessa equação, vemos que se x > 1 ou se x < - 1 a derivada é negativa, portanto, em x > 1 e x < - 1 a função decresce.

Já entre - 1 < x < 1 , a derivada é positiva, logo a função é crescente!

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vemos também que no denominador mesmo se x for negativo, por estar elevado ao quadrado, x 2 + 1 sempre será positivo.

Já no numerador, o sinal de x dita o sinal da função, então se x < 0 , a função será negativa e se x > 0 a função será positiva.

Quando x = 1 , temos

f 1 = 1 1 2 + 1 = 1 2

Quando x = - 1

f - 1 = - 1 - 1 2 + 1 = - 1 2

Com as informações que obtemos até agora, podemos esboçar o gráfico da função bidimensional como

Sabendo que y é constante em todo o domínio, o gráfico de f será dado por

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

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