1.4. Esboce os gráficos de:

c. f x , y = x 2 + 9 y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = x 2 + 9 y 2 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

No nosso caso, temos algo interessante... perceba que na função temos uma raiz com x ² e y 2 dentro, então podemos suspeitar que haja alguma simetria polar nesse problema.

Fazendo f x , y = z , então

f x , y = z = x 2 + 9 y 2

z 2 = x 2 + 9 y 2

Com isso, vemos que realmente há uma simetria polar na equação...

Nesse caso podemos definir que

x 2 + 9 y 2 = z 2

x 2 z 2 + 9 y 2 z 2 = 1

x 2 z 2 + y 2 z 3 2 = 1

Ou seja, para cada altura z do plano x y , a função se comporta como uma elipse com a = z e b = z / 3 .

Por exemplo, para z = 1 , temos

x 2 1 2 + y 2 1 3 2 = 1

x 2 1 + y 2 1 / 9 = 1

Para z = 3

x 2 3 2 + y 2 3 3 2 = 1

x 2 9 + y 2 1 = 1

E para z = 6

x 2 6 2 + y 2 6 3 2 = 1

x 2 36 + y 2 4 = 1

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Plotando essas curvas cada uma em seu plano z , vamos obter

Assim, esboçando o gráfico de f tendo em mente o padrão de repetição dos níveis obtidos...

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica