1.4. Esboce os gráficos de:

j. f x , y = 1 4 x 2 + 9 y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = 1 4 x 2 + 9 y 2 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = 1 4 x 2 + 9 y 2

z 4 x 2 + 9 y 2 = 1

4 z x 2 + 9 z y 2 = 1

x 2 1 4 z + y 2 1 9 z = 1

Com isso podemos ver que para cada nível de z vamos ter uma elipse com a = 1 4 z = 1 2 z e b = 1 9 z = 1 3 z

Por exemplo, para z = 1 / 3

x 2 1 4 1 3 + y 2 1 9 1 3 = 1 → x 2 3 4 + y 2 1 3 = 1

Para z = 1

x 2 1 4 1 + y 2 1 9 1 = 1 → x 2 1 4 + y 2 1 9 = 1

Para z = 2

x 2 1 4 2 + y 2 1 9 2 = 1 → x 2 1 8 + y 2 1 18 = 1

Já para z = 3

x 2 1 4 3 + y 2 1 9 3 = 1 → x 2 1 12 + y 2 1 27 = 1

Tranquilinho?

Passo 3

Esboçando cada curva em seu respectivo plano em z , temos

Com isso, somos capazes de imaginar o comportamento da função nos outros valores de z ...

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica