1.4. Esboce os gráficos de:

l. f x , y = x 2 + y 2 + 2 y + 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = x 2 + y 2 + 2 y + 3 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = x 2 + y 2 + 2 y + 3

z = x 2 + y 2 + 2 y + 3

Podemos reescrever a equação como

z = x 2 + y 2 + 2 y + 1 + 2

Dessa forma, perceba que o que está entre parênteses, pode ser simplificado como

z = x 2 + y + 1 2 + 2

x 2 + y + 1 2 = z - 2

Portanto, se definirmos constantes para z , vamos obter circunferências centradas em 0 , - 1 com raio z - 2 .

Como o raio não pode ser negativo, nossa função é definida apenas para z > 2

Tudo certo? 😉

Passo 3

Para z = 3 , temos

x 2 + y + 1 2 = 3 - 2

x 2 + y + 1 2 = 1

Para z = 5

x 2 + y + 1 2 = 5 - 2

x 2 + y + 1 2 = 3

E para z = 10

x 2 + y + 1 2 = 10 - 2

x 2 + y + 1 2 = 8

Esboçando essas curvas cada uma em seu plano de z em que foi definido...

Esboçando essas estruturas, podemos imaginar como f se comporta

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica