1.4. Esboce os gráficos de:

m. f x , y = 1 x 2 + 2 y 2 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = 1 x 2 + 2 y 2 2 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = 1 x 2 + 2 y 2 2

z = 1 x 2 + 2 y 2 2

Manipulando essa equação, vamos chegar em

z x 2 + 2 y 2 2 = 1

z x 2 + 2 y 2 = 1

x 2 1 z + y 2 1 2 z = 1

Dessa forma, vemos que se definirmos constantes para z , em cada nível z vamos obter uma elipse.

Por exemplo, para z = 1 4

x 2 1 1 4 + y 2 1 2 1 4 = 1 → x 2 1 1 2 + y 2 1 2 1 2 = 1 → x 2 2 + y 2 1 = 1

Para z = 1

x 2 1 1 + y 2 1 2 1 = 1 → x 2 1 + y 2 1 2 = 1

Para z = 3

x 2 1 3 + y 2 1 2 3 = 1

E para z = 5

x 2 1 5 + y 2 1 2 5 = 1

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Esboçando cada curva em seu plano z onde ele foi definido, vamos obter

Ou seja, quanto menor z , maior é a elipse... já quanto maior z , menor é a elipse...

Assim podemos definir como a função f se comporta ao longo de z , veja só

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica