1.4. Esboce os gráficos de:

n. f(x, y) = ln(9 * x^2 + y^2)

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = ln ⁡ 9 x 2 + y 2 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = ln ⁡ 9 x 2 + y 2

z = ln ⁡ 9 x 2 + y 2

Manipulando essa equação, temos que

e z = e ln ⁡ 9 x 2 + y 2

e z = 9 x 2 + y 2

9 x 2 e z + y 2 e z = 1

x 2 e z 9 + y 2 e z = 1

Assim, se definirmos constantes para z , vamos obter que para cada nível z , a figura formada será uma elipse.

Por exemplo, para z = - 2

x 2 e - 2 9 + y 2 e - 2 = 1 → x 2 1 9 e 2 + y 2 1 e 2 = 1

Para z = 1

x 2 e 9 + y 2 e = 1

Para z = 3

x 2 e 3 9 + y 2 e 3 = 1

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Esboçando cada curva em seu respectivo plano de z , temos

Assim podemos observar que conforme z cresce, a elipse formada cresce exponencialmente. Portanto podemos esboçar como é o comportamento da função em seu domínio de z ...

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

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