1.4. Esboce os gráficos de:

o. f(x, y) = 2 - raiz((x^2 + 4y^2) / 4)

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = 2 - x 2 + 4 y 2 4 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = 2 - x 2 + 4 y 2 4

z = 2 - x 2 + 4 y 2 4

Manipulando essa equação, podemos encontrar

z = 2 - x 2 + 4 y 2 4

x 2 + 4 y 2 4 = 2 - z

x 2 + 4 y 2 = 2 - z 4

x 2 2 - z 4 + 4 y 2 2 - z 4 = 1

x 2 2 - z 4 + y 2 2 - z 4 4 = 1

Dessa forma, se definirmos valores para z podemos obter curvas de níveis de z .

Por exemplo, para z = 1 , temos

x 2 2 - 1 4 + y 2 2 - 1 4 4 = 1 → x 2 + y 2 1 4 = 1

Para z = 0

x 2 2 - 0 4 + y 2 2 - 0 4 4 = 1 → x 2 16 + y 2 4 = 1

E para z = - 1

x 2 2 - - 1 4 + y 2 2 - - 1 4 4 = 1 → x 2 81 + y 2 81 4 = 1

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Esboçando cada curva em seu devido plano de z onde foi definido, temos

Assim, podemos perceber que quanto menor z , maior é a elipse formada. Então podemos esboçar o gráfico de f como

O que achou? Foi de boa? Responde aí! ���

Resposta

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