1.4. Esboce os gráficos de:

q. f x , y = x 2 + y 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = x 2 + y 2 + 1 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = x 2 + y 2 + 1

z = x 2 + y 2 + 1

Elevando os dois lados ao quadrado, vamos obter

z 2 = x 2 + y 2 + 1 2

x 2 + y 2 + 1 = z 2

x 2 + y 2 = z 2 - 1

Com isso, vemos que se definirmos valores para z , vamos obter circunferências de raio z 2 - 1 .

Como não temos circunferências de raios negativos, z só pode ser definido para valores maiores que 1

Por exemplo, para z = 2 , temos

x 2 + y 2 = 2 2 - 1 → x 2 + y 2 = 3

Para z = 3

x 2 + y 2 = 3 2 - 1 → x 2 + y 2 = 8

Para z = 5

x 2 + y 2 = 5 2 - 1 → x 2 + y 2 = 2 4

E para z = 9

x 2 + y 2 = 9 2 - 1 → x 2 + y 2 = 8 0

Tudo certinho? 👀

Passo 3

Agora vamos esboçar cada circunferência obtida em seu devido plano de z

Assim, podemos ter uma ideia de como a função f se comporta. Quanto maior z , maior é a circunferência formada

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica