1.4. Esboce os gráficos de:

r. f x , y = y - 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, estamos interessados em obter o gráfico da função f x , y = y - 2 x 2 - 1 .

Parece de boa? 🤔

Para esboçar o gráfico de uma função tridimensional, podemos o método das seções...

Esse método consiste em fixar uma das variáveis a uma constante e obter uma curva bidimensional, assim, esboçando essa curva no plano onde fixamos a variável, podemos obter algumas “estruturas” do gráfico de f .

Sacou como vai ser? 😁

Passo 2

Fazendo f x , y = z , vamos obter

f x , y = z = y - 2 x 2 - 1

z = y - 2 x 2 - 1

Manipulando essa equação, vamos obter

z 2 = y - 2 x 2 - 1 2

y - 2 x 2 - 1 = z 2

2 x 2 + z 2 = y - 1

Com isso, podemos imaginar que se definirmos valores para y , vamos obter elipses no plano x z , mas como temos z = y - 2 x 2 - 1 originalmente, estamos interessados apenas nos pontos onde z > 0 já que para satisfazer a igualdade z não pode ser negativo.

Da mesma forma, y tem que ser maior que 1 para que y - 1 > 0 e satisfazer a igualdade de 2 x 2 + z 2 = y - 1

Assim, se y = 2 , temos

2 x 2 + z 2 = 2 - 1 → 2 x 2 + z 2 = 1

x 2 1 / 2 + z 2 = 1

Para y = 5

2 x 2 + z 2 = 5 - 1 → 2 x 2 + z 2 = 4

x 2 2 + z 2 4 = 1

Já para y = 10

2 x 2 + z 2 = 10 - 1 → 2 x 2 + z 2 = 9

x 2 9 / 2 + z 2 9 = 1

Tudo certinho? 😁

Passo 3

Esboçando esses arcos elípticos cada um em seu devido plano de y , temos

A partir daí, podemos imaginar como a função f se comporta... veja só!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica