Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.

a )   f x = 1 - x x 2

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos esboçar o gráfico de:

f x = 1 - x x 2

Mas, para fazer esse esboço, o enunciado nos pede para responder as seguintes perguntas acerca da função:

1 )   Domínio de f

2 )   Assíntotas 3 ) intervalos de crescimento e decrescimento;

4 ) os extremos relativos e absolutos;

5 ) os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo;

6 ) os pontos de inflexão

Então, vamos buscar encontrar cada um desses tópicos para em seguida fazer um esboço da função.

Passo 2

Bom, vamos começar verificando o domínio de f :

f x = 1 - x x 2

A única restrição está associada ao fato de f ser uma fração em x . Assim, o denominador precisa ser não-nulo, logo:

x ≠ 0

Portanto:

D f ∈ R     \   { 0 }

Passo 3

Vamos pensar nas assíntotas.

f possui assíntotas horizontais, se:

lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = k

Então, vamos verificar:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - x x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 x 2 - 1 x

= 0

Resultado vale tanto para x → + ∞ como para x → - ∞ .

Logo, há uma assíntota horizontal em:

y = 0

Já para as assíntotas verticais, sabemos que o nosso domínio não contém o ponto x = 0 . Vamos verificar o que ocorre com f nesse ponto:

lim x → 0 ⁡ 1 - x x 2 = 1 0 → ∞

Se x → 0 - , então f x → - ∞ .

Se x → 0 + , então f x → + ∞ .

Portanto, temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Agora vamos verificar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, precisamos analisar os intervalos em que f ' x > 0 . Assim:

f ' x = 1 - x x 2 '

= - 1 ⋅ x - 2 + 1 - x ⋅ - 2 ⋅ x - 3

⇒   f ' x = 1 x 3 - x - 2 + 2 x

∴ f ' x = x - 2 x 3

Daí, temos:

f ' x > 0

∴ x - 2 x 3 > 0

Ou seja:

0 < x < 2 ⇒ f ' x < 0

x < 0   o u   x > 2 ⇒ f ' x > 0

Daí temos os intervalos de crescimento e decrescimento de f .

Passo 5

Agora vamos calcular os extremos relativos e absolutos. Para isso, precisamos verificar os valores de x que zeram a nossa f ' ( x ) :

f ' x = 0 ⇔ x - 2 x 3 = 0

Logo:

x = 2 é a única solução.

Seria esse então o único o único ponto de máximo ou mínimo relativo. No caso, é um ponto de mínimo pois f ' ( x ) é negativo para x imediatamente menor que 2 .

E, é positivo para x imediatamente maior do que 2 .

Massa!

Passo 6

Quanto aos intervalos em que a função possui concavidade pra cima ou pra baixo, podemos calcular a segunda derivada de f .

f ' ' x = x - 2 ' ⋅ x - 3 + x - 2 ⋅ x - 3 '

= x - 3 + x - 2 ⋅ - 3 ⋅ x - 4

= x - 3 x - 2 x 4

Logo:

f ' ' x = - 2 x + 6 x 4

Então, vamos ver os intervalos em que f ' ' ( x ) é positivo ou negativo:

- 2 x + 6 x 4 > 0

- 2 x + 6 > 0

2 x < 6

∴ x < 3

Caso contrário, f ' ' x < 0 .

Ou seja:

x < 3 → c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a

x > 3 → c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o

Ponto de inflexão é justamente onde ocorre a mudança na concavidade da função.

Nesse caso então, vamos ter que:

x = 3

É ponto de inflexão.

Passo 7

Agora sim, podemos finalmente esboçar o gráfico de f .

Sabendo das assíntotas em x → ± ∞ , e das informações que obtivemos nos passos anteriores, podemos esboçar a seguinte curva:

Prontinhooo!

Deu um trabalho, mas saiu 😊

Valeu pessoal, até a próxima!

Resposta

Resposta no texto.

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