UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 14a.
14. Esboce à mão o gráfico de e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de (nos domínios indicados).
a) ,
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema estamos interessados em esboçar a curva dentro de um intervalo e determinar os pontos de máximos e de mínimos da função.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para obter o gráfico da função, podemos obter alguns pontos da função e estimar o comportamento dela dentro dos intervalos dos pontos.
Já para obter os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada de e igualar a , assim, os pontos que satisfazerem a igualdade serão os pontos extremos. Mas caso eles não estejam no intervalo do domínio verificamos como se comporta.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos determinar a imagem de em , , , e em .
Para
Para
Para
Para
E para
Plotando esses pontos no plano cartesiano e estimando o comportamento de entre eles, temos algo mais ou menos como
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Para reforçar isso que acabamos de obter, vamos calcular a derivada de
Pelo método de derivação polinomial, temos
Igualando a ...
Portanto, tem um único ponto crítico e está em .
Substituindo em
Portanto, em a função atinge seu menor valor dentro do domínio.
Analisando , vemos que para , é decrescente e para , é crescente. Logo, o ponto máximo será nos extremos de no domínio.
Pelo que calculamos , portanto, é o ponto de máximo!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
é o ponto de mínimo.
é o ponto de máximo.