UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 14b.
14. Esboce à mão o gráfico de e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de (nos domínios indicados).
b) ,
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema estamos interessados em esboçar a curva dentro de um intervalo e determinar os pontos de máximos e de mínimos da função.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para obter o gráfico da função, podemos obter alguns pontos da função e estimar o comportamento dela dentro dos intervalos dos pontos.
Já para obter os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada de e igualar a , assim, os pontos que satisfazerem a igualdade serão os pontos extremos. Mas caso eles não estejam no intervalo do domínio verificamos como se comporta.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos determinar a imagem de em , , e em .
Para
Para
Para
E para
Plotando esses pontos no plano cartesiano e estimando o comportamento de entre eles, temos algo mais ou menos como
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Para reforçar isso que acabamos de obter, vamos calcular a derivada de
Pelo método de derivação polinomial, temos
Igualando a ...
Portanto, tem um único ponto crítico e está em .
Substituindo em
Portanto, em a função atinge seu maior valor dentro do domínio.
Analisando , vemos que para , é crescente e para , é decrescente. Logo, o ponto mínimo será nos extremos de no domínio.
Pelo que calculamos , portanto, é o ponto de mínimo!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
é o ponto mínimo.
é o ponto de máximo.