UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 14d.
14. Esboce à mão o gráfico de e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de (nos domínios indicados).
d)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema estamos interessados em esboçar a curva dentro de um intervalo e determinar os pontos de máximos e de mínimos da função.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para obter o gráfico da função, podemos obter alguns pontos da função e estimar o comportamento dela dentro dos intervalos dos pontos.
Já para obter os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada de e igualar a , assim, os pontos que satisfazerem a igualdade serão os pontos extremos. Mas caso eles não estejam no intervalo do domínio verificamos como se comporta.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Vamos determinar a imagem de em , , , e em .
Para
Para
Para
Para
E para
Plotando esses pontos no plano cartesiano e estimando o comportamento de entre eles, temos algo mais ou menos como
Tranquilo até aqui? 😊
Passo 3
Para reforçar isso que acabamos de obter, vamos calcular a derivada de
Pelo método de derivação polinomial, temos
Igualando a ...
No segundo, como está fora do domínio daquela parte de , então vamos desconsiderar
Portanto, tem um único ponto crítico e está em .
Substituindo em
Então, na primeira parte de , , é um ponto de máximo
E as extremidades e são os pontos de mínimos já que é linear nesse espaço.
Já se analisarmos a segunda parte de , , vemos que a derivada é linear e cresce durante todo o domínio. Logo, o ponto mínimo está na extremidade e o ponto máximo em .
Comparando os valores das imagens que calculamos, vemos que é o ponto de máximo e e são os pontos de mínimo.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
é o ponto de máximo.
e são os pontos de mínimo.