Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:

(a) C = {(x, y) ∈ ℝ² : x² + y² = 4, y ≥ -x e y ≥ x}

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que esboçar e parametrizar os conjuntos C indicados em cada alternativa, nesta em particular temos que

( a )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ - x   e   y ≥ x }

Temos que a equação indicada é bastante conhecida! E, algumas desigualdades que limitam um pedaço que estamos interessados! Consegue identificar? Saca só!

Passo 2

A equação

x 2 + y 2 = 4

é a equação de uma circunferência de raio R = 2 , a parametrização deste tipo de curva é bastante conhecida, temos que

r ( t ) = [ 2   c o s ( t ) ,   2   s e n ( t ) ]

uma circunferência completa tem t no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π , devido a presença das desigualdades em C iremos precisar verificar esses limites! Saca só!

Passo 3

Usando a nossa parametrização temos que a desigualdade y ≥ - x se torna

2   s e n ( t )   ≥   - 2   c o s ( t )

de forma que

t g   ( t )   ≥   - 1           ( 1 )

Isso dá um limite superior para o valor de t equivalente à

t ≤ 3 π / 4

Da mesma forma temos que a desigualdade y ≥ x , nos leva ao limite

t ≥ π / 4

Talvez você precise dar uma olhada no gráfico para compreender a escolha dos ângulos! Portanto, a parametrização é dada por

r ( t ) = [ 2   c o s ( t ) ,   2   s e n ( t ) ] em que π / 4 ≤ t ≤ 3 π / 4

A região descrita pelo conjunto C e portanto a curva descrita é a seguinte

Resposta

r ( t ) = [ 2   c o s ( t ) ,   2   s e n ( t ) ] em que π / 4 ≤ t ≤ 3 π / 4

Exercícios de Livros Relacionados