Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:

(c) C = {(x, y) ∈ ℝ² : y² / 9 - (x - 1)² / 4 = 1, y < 0}

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que esboçar e parametrizar os conjuntos C indicados em cada alternativa, nesta em particular temos que

( c )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : y 2 9 - ( x - 1 ) 2 4 = 1 ,   y < 0 }

Esta equação é uma função bem conhecida, consegue reconhecer? A sua parametrização requer passarmos por um pequeno truque, vou mostrar no próximo passo! A desigualdade apenas nos indica que pedaço da curva iremos considerar! Saca só!

Passo 2

A seguinte equação

y 2 9 - ( x - 1 ) 2 4 = 1

é a equação de uma hipérbole com o centro deslocado para a posição x = 1 . Mas como parametrizamos isso? De maneira bem similar a circunferência, mas para enxergamos isso, vamos reescrever um pouco essa equação, temos que

( y 3 ) 2 - ( x - 1 4 ) 2 = 1

se chamarmos y ' = y 3 e x ' = x - 1 4 , obtemos a equação de uma hipérbole centrada na origem

y ' 2 - x ' 2 = 1

convenientemente vou escrever esta expressão da forma

y ' 2 = 1 + x ' 2

Isso irá nos ajudar muito, pois agora temos uma identidade trigonométrica que parametriza a nossa curva muito bem! Saca só!

Passo 3

Se lembrarmos que s e c 2 ( t ) = 1 + t g 2 ( t ) , podemos notar que usando

y ' = s e c ( t ) e x ' = t g ( t )

podemos garantir uma parametrização! Lembrando as variáveis originais, temos que

y = 3   s e c ( t ) e x = 1 + 4   t g ( t )

e, portanto, a parametrização é

r ( t ) = [ 1 + 4   t g ( t ) ,   3   s e c ( t ) ]

e como temos que s e c ( t ) nunca é zero, precisamos apenas tomar a curva que está abaixo do eixo y , representada por

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r ( t ) = [ 1 + 4   t g ( t ) ,   3   s e c ( t ) ]

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