Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:

( d )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : d ( ( x , y ) , r ) = d ( ( x , y ) , P ) } sendo P = ( 0,3 ) e r a reta y = 4 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que esboçar e parametrizar os conjuntos C indicados em cada alternativa, nesta em particular temos que

( d )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : d ( ( x , y ) , r ) = d ( ( x , y ) , P ) } sendo P = ( 0,3 ) e r a reta y = 4 .

Aqui temos a forma reduzida de uma equação conhecida! Note que a função d indica a distância entre duas grandezas, aqui em particular, temos que a distância de qualquer par coordenado ( x , y ) à uma reta r é a mesma distância de qualquer par coordenado de um ponto P . Consegue visualizar que figura geométrica tem essas características?

Passo 2

A figura desejada é uma parábola, se identificarmos que r é a reta diretriz y = 4 (uma reta horizontal) e o ponto P = ( 0,3 ) é o seu foco! Já que a distância de qualquer ponto da parábola ao foco é igual a distância de qualquer par coordenado com a diretriz da seguinte forma

d ( ( x , y ) , F ) = d ( ( x , y ) , r )

Como temos que a diretriz é y = 4 , e o Foco é F = P = ( 0,3 ) , usando um ponto cartesiano arbitrário, e a definição de distância, temos que a equação da parábola pode ser obtida igualando

d ( ( x , y ) , F ) = ( x - 0 ) 2 + ( y - 3 ) 2 = x 2 + ( y - 3 ) 2

à

d ( ( x , y ) , ( x , 4 ) ) = ( x - x ) 2 + ( y - 4 ) 2 = y - 4

note que na segunda distância escolhi um ponto ( x , 4 ) para representar uma reta y = 4 . Vamos agora igualar as duas equações!

Passo 3

Igualando as equações temos que

x 2 + ( y - 3 ) 2 = y - 4

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

x 2 + ( y - 3 ) 2 = ( y - 4 ) 2

expandindo os quadrados, obtemos

x 2 + y 2 - 6 y + 9 = y 2 - 8 y + 16

simplificando alguns termos, obtemos que

x 2 = 7 - 2 y

que pode ser representada como

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x 2 = 7 - 2 y

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica