Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:

(f) C = { (x, y) ∈ R^2 : |d((x, y), P) - d((x, y), Q)| = 1, x > 0 } com P = (2,0) e Q = -2,0 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que esboçar e parametrizar os conjuntos C indicados em cada alternativa, nesta em particular temos que

( f )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : | d ( ( x , y ) , P ) - d ( ( x , y ) , Q ) | = 1 ,   x > 0 } com P = ( 2,0 ) e Q = ( - 2,0 ) .

Aqui temos a forma reduzida de uma equação conhecida! Note que a função d indica a distância entre duas grandezas, aqui em particular, temos que a distância de qualquer par coordenado ( x , y ) a um ponto P = ( 2,0 ) subtraída a distância do mesmo par coordenado à um ponto Q = ( - 2,0 ) tem módulo igual a 1 . Consegue visualizar de qual objeto estamos falando?

Passo 2

A figura desejada é uma hipérbole com focos em F 1 = Q = ( - 2,0 ) e F 2 = P = ( 2,0 ) , em que podemos identificar a forma reduzida no formato

| d ( ( x , y ) , F 1 ) - d ( ( x , y ) , F 2 ) | = 2 a

ou seja, podemos garantir que 2 a = 1 , e portanto, temos que a = 1 / 2 . Para escrever a equação no formato que conhecemos podemos utilizar a definição de distância como

d ( ( x , y ) , P = ( x 0 , y 0 ) ) = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2

e, então, aplicar a nossa definição! Saca só!

Passo 3

Usando a definição de distância temos que

( x + 2 ) 2 + ( y - 0 ) 2 - ( x - 2 ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 1

que pode ser simplificado para

( x + 2 ) 2 + y 2 = 1 + ( x - 2 ) 2 + y 2

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

( x + 2 ) 2 + y 2 = 1 + 2 ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( x - 2 ) 2 + y 2

expandindo os quadrados, e simplificando, temos que

- 2 ( x - 2 ) 2 + y 2 = 1 - 8 x

elevando ao quadrado novamente

4 ( x - 2 ) 2 + 4   y 2 = 1 - 16   x + 64   x 2

expandindo o quadrado e simplificando novamente

4 x 2 - 16   x + 16 + 4 y 2 = 1 - 16 x + 64   x 2

reorganizando e simplificando, temos que

4 y 2 - 60   x 2 = - 15

ou simplesmente

x 2 1 / 4 - y 2 15 / 4 = 1

Uff… podemos visualizar nossa hipérbole como

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x 2 1 / 4 - y 2 15 / 4 = 1

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