Esboce e parametrize cada conjunto C como uma curva:

( e )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : | d ( ( x , y ) , P ) + d ( ( x , y ) , Q ) | = 10 } sendo P = ( 2,0 ) e Q = ( - 2,0 ) .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Nós temos que esboçar e parametrizar os conjuntos C indicados em cada alternativa, nesta em particular temos que

( e )   C = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : | d ( ( x , y ) , P ) + d ( ( x , y ) , Q ) | = 10 } sendo P = ( 2,0 ) e Q = ( - 2,0 ) .

Aqui temos a forma reduzida de uma equação conhecida! Note que a função d indica a distância entre duas grandezas, aqui em particular, temos que a distância de qualquer par coordenado ( x , y ) a um ponto P = ( 2,0 ) somada a distância do mesmo par coordenado à um ponto Q = ( - 2,0 ) tem módulo igual a 10 . Consegue visualizar de qual objeto estamos falando?

Passo 2

A figura desejada é uma elipse com focos em F 1 = Q = ( - 2,0 ) e F 2 = P = ( 2,0 ) , em que podemos identificar a forma reduzida no formato

d ( ( x , y ) , F 1 ) + d ( ( x , y ) , F 2 ) | = 2 a

ou seja, podemos garantir que 2 a = 10 , e portanto, o semi-eixo menor é dado por a = 5 . Para escrever a equação no formato que conhecemos podemos utilizar a definição de distância como

d ( ( x , y ) , P = ( x 0 , y 0 ) ) = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2

e, então, aplicar a nossa definição! Saca só!

Passo 3

Usando a definição de distância temos que

( x + 2 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( x - 2 ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 10

que pode ser simplificado para

( x + 2 ) 2 + y 2 = 10 - ( x - 2 ) 2 + y 2

elevando ambos os lados ao quadrado, temos que

( x + 2 ) 2 + y 2 = 100 - 20 ( x - 2 ) 2 + y 2 + ( x - 2 ) 2 + y 2

expandindo os quadrados, e simplificando, temos que

1 5 ( x - 2 ) 2 + y 2 = 1 - 2 25 x

elevando ao quadrado novamente

1 25 ( x - 2 ) 2 + y 2 = 1 - 4 25 x + 4 625 x 2

expandindo o quadrado e simplificando novamente

x 2 25 - 4 25 x + 4 25 + y 2 = 1 - 4 25 x + 4 625 x 2

reorganizando e simplificando, temos que

21   x 2 625 + y 2 = 21 25

ou simplesmente

x 2 25 + y 2 21 / 25 = 1

Uff… podemos visualizar nossa elipse como

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

x 2 25 + y 2 21 / 25 = 1

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica