18. Nos exercícios de a) - f), esboce o intervalo (a, b) no eixo x com o ponto x_0 dentro. Em seguida, determine um valor de δ > 0 , de modo que para todo x , 0 < |x - x0| < δ ⇒ a < x < b.

a) a = 1, b = 7, x₀ = 5

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos esboçar, em um gráfico só do eixo x , o intervalo dado a , b e o ponto x 0 dentro. Depois vamos calcular um valor de δ > 0 de modo que 0 < x - x 0 < δ   se x pertencer ao intervalo a , b .

Passo 2

Esboçando o intervalo (lembrando que a bolinha é vazia, pois o intervalo é aberto:

E a condição que precisa ser satisfeita é:

0 < x - 5 < δ

Repara que dentro do intervalo de 1 a 7 a condição 0 < x - 5 é sempre satisfeita, exceto quando x é igual a 5. Isso já é uma consequência do x 0 estar no meio do intervalo, então não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 3

Usando o outro lado da condição:

x - 5 < δ

Testando o primeiro extremo do intervalo:

1 - 5 < δ

4 < δ

δ > 4

Testando o outro extremo do intervalo:

7 - 5 < δ

2 < δ

δ > 2

Como δ precisa ser maior que 2 e maior que 4, então podemos escolher, por exemplo

δ = 6

Resposta

δ = 6

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