Faça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:

(b) t → (5 cos(t), 2 sin(t)), t ∈ [0, 2π]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva paramétrica e indicar sua orientação.

Pra isso, vamos transformar nosso vetor em uma equação cartesiana, usando as funções trigonométricas que ele nos deu. Assim, vamos conseguir identificar a forma da curva dada pelas equações paramétrica e plotá-la no gráfico cartesiano.

Vamos lá!

Passo 2

Lembra lá das coordenadas polares que tínhamos:

x t = sin ⁡ ( t ) y t = cos ⁡ ( t ) ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Pois bem, a única coisa que muda agora é a ordem e as constantes multiplicando as funções trigonométricas dadas em 5 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t ,   t ∈ [ 0 ,   2 π ] . Assim, temos:

x t = 5 cos ⁡ ( t ) → cos ⁡ ( t ) = x t 5 y t = 2 sin ⁡ ( t ) → sin ⁡ ( t ) = y t 2

A partir disso, usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ ( t ) + sin 2 ⁡ ( t ) = 1 , temos:

x t 5 2 + y t 2 2 = 1

x 2 25 + y 2 4 = 1

Repare que essa é a equação de uma elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 com eixo maior a = 5 e eixo menor b = 2 . Então podemos plotar nossa curva assim:

Pra definir a orientação da curva, precisamos perceber que o nosso intervalo vai de t = 0 até t = 2 π . Então, substituindo esses extremos na equação paramétrica, temos:

Então, nossa curva parte do ponto ( 5 ,   0 ) percorre a elipse no sentido anti-horário, positivo, e volta ao ponto ( 5 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E s b o ç o   n o s   p a s s o s

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