Faça o esboço do traço de cada curva parametrizada abaixo indicando a sua orientação:

(e) t → (cos(t), sin(t), cos(t)), t ∈ [0, 4π]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente esboçar a curva paramétrica e indicar sua orientação.

Pra isso, vamos transformar nosso vetor em uma equação cartesiana, usando as funções de t que ele nos deu. Assim, vamos conseguir identificar a forma da curva dada pelas equações paramétrica e plotá-la no gráfico cartesiano.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar cada componente da curva cos ⁡ t , sin ⁡ t , cos ⁡ t e relacioná-los com as componentes ( x ,   y ,   z ) . Assim, teremos:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

z = cos ⁡ t

Agora lembra de identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1 ? Ela vai nos ajudar agora, porque para qualquer t vamos ter:

cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = x 2 t + y 2 t = 1

Ou seja, os pontos ( x ,   y ) estão sempre sobre um círculo de raio 1 . E a coordenada z , por sua vez, segue o formato da curva cosseno de 0 até 4 π . Então, temos o esboço da curva na forma:

Pra definir a orientação da curva, precisamos perceber que o nosso intervalo vai de t = 0 até t = 4 π . Então, substituindo esses extremos na equação paramétrica, temos:

Então, nossa curva parte do ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) e volta ao ponto 1 ,   0 ,   1 , percorrendo a curva no sentido anti-horário, positivo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E s b o ç o   n o s   p a s s o s

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