A imagem da curva γ t = s e n 2 t - 1 ,   2   s e n 2 t - s e n 4 t ,   t ∈ 0 ,   2 π , está melhor representada em

Passo 1

Fala galerinha, prontos para mais uma questão de identificação de curvas?

A curva fornecida nesse problema é

γ t = s e n 2 t - 1 ,   2   s e n 2 t - s e n 4 t ,   t ∈ 0 ,   2 π

Como γ t = x t ,   y t , temos que

x = s e n 2 t - 1                   e             y = 2   s e n 2 t - s e n 4 t

Da primeira equação, tiramos:

s e n 2 t = x + 1

Substituindo na segunda:

y = 2   x + 1 - x + 1 2

Assim,

y = 2 x + 2 - ( x 2 + 2 x + 1 )

y = 2 x + 2 - x 2 - 2 x - 1

Logo,

y = - x 2 + 1

Passo 2

Note que essa é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y , pois a variável x está elevada ao quadrado! Essa parábola está bem representada nas alternativas A, B e C. Temos que identificar apenas qual a parte da parábola que corresponde à curva!

Sabemos que - 1 ≤ s e n   t ≤ 1 , de modo que:

0 ≤ s e n 2 t ≤ 1

Assim, subtraindo 1 em todos os temros:

- 1 ≤ s e n 2 t - 1 ≤ 0

Mas como x = s e n 2 t - 1 (passo 1), temos que

- 1 ≤ x ≤ 0

Com isso, apenas a parte da parábola no segundo quadrante deve ser considerada. A resposta está na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
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