Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por:

e) z^2 + 4 = x^2 + y^2, z >= 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente representar graficamente o domínio da função z = f ( x ,   y ) . Como essa é uma função de duas variáveis, nós precisamos encontrar a região do plano onde a função está definida, esse será o nosso domínio.

Para determinarmos e esboçarmos o domínio de uma função, devemos sempre garantir:

- nas frações o denominador não pode valer zero;

- dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo;

- o valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo.

Então, para esboçar o domínio da nossa função, vamos primeiro isolar z e verificar as condições para que ela esteja definida.

Vamos lá!

Passo 2

Nós temos z 2 + 4 = x 2 + y 2 ,   z ≥ 0 . Isolando z na equação, vamos obter:

z 2 = x 2 + y 2 - 4

Como z ≥ 0 , tirando a raiz dos dois lados, vamos ter apenas a parte positiva:

z = x 2 + y 2 - 4

Passo 3

Como a nossa função é definida por uma raiz quadrada, a gente já sabe que dentro dela não pode haver número negativo. Então, a nossa condição de existência é:

x 2 + y 2 - 4 ≥ 0

Ou seja:

x 2 + y 2 ≥ 4

Isso quer dizer que o domínio da nossa função está do lado de fora da circunferência de raio 2 , descrita pela equação x 2 + y 2 = 4 . Plotando isso no gráfico, vamos ter:

D f = x ,   y | x 2 + y 2 ≥ 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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