5. Sabe que, o módulo de um número real x é definido da seguinte forma:

x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Com base nisso, dadas as funções f : A ⊆ R → R em cada item, faça um esboço do gráfico de seu gráfico e encontre, se possível, sua imagem.

e) f x = x + 1 + x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função modular f x = x + 1 + x e nosso objetivo é esboçar seu gráfico e determinar sua imagem.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Aqui há três pontos importantes... primeiro: uma função modular não assume valores negativos, ou seja, se temos um valor - a , podemos reescrever simplesmente como a , ignorando o sinal negativo.

O segundo ponto é que para esboçar o gráfico de uma função modular podemos esboçar a curva normalmente, mas espelhando o eixo x pra cima.

E o terceiro ponto é que a imagem de uma função, é dada pelos possíveis valores para y , ou seja, os possíveis valores que a função pode resultar.

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

A função é dada por

f x = x + 1 + x

Primeiro vamos esboçar o gráfico dessa função.

Aqui temos algo interessante pois como se trata de uma soma de funções modulares, a função vai ter mais de dois comportamentos. Isso porque se x ≥ 0 , nada muda, continuamos considerando x + 1 + x . Mas se - 1 < x < 0 , o termo x fica negativo, então consideramos - x , porém o termo x + 1 continua positivo, então ele ainda é considerado x + 1 , sacou?

Como foi dado no enunciado do problema e adicionando esse novo intervalo, temos

x + 1 + x = x + 1 + x ,     s e   x ≥ 0 x + 1 - x ,     s e   0 < x ≤ - 1 - x + 1 - x ,     s e   x < - 1

então para x ≥ 0 a função se comporta como f x = 2 x + 1 , para 0 < x ≤ - 1 , a função é constante e igual a 1 e para x < - 1 , a função se comporta como f x = - 2 x - 1 .

Juntando tudo isso em um gráfico, temos

Tranquilo até aqui? ���

Passo 3

E por fim, temos que determinar a imagem da função.

Perceba que o gráfico varia a partir de y = 1 e conforme x cresce, y também cresce, ou seja, a imagem de f x é dada por

I m f x = 1 , ∞

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

I m f x = 1 , ∞

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica