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Exercícios Resolvidos de Esboço de Curvas

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Cálculo C, Provas Professor Saeger – P2 2022.1, Questão 5b

Seja C = C 1 ∪ A B - , onde A = 0 , 5 2 , B = - 1 , 5 2 , e

C 1 :   r → t = t c o s t π , t s e n t π ,   t ∈ π 2 , 5 π 2

  1. Calcule:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Bom, para resolvermos nosso exercício, vamos fazer algumas substituições por meio das informações dada no enunciado:

C 1 :   r → t = t c o s t π , t s e n t π ,   t ∈ π 2 , 5 π 2

Aonde:

x ( t ) = t c o s t π

y t = t s e n t π

Show? Com isso vamos conseguir calcular.

Passo 2

Show, vamos calcular:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2

Antes, vamos derivar nossas funções:

d x = t c o s t π ' = cos ⁡ t - t s e n ( t ) π

d y = t s e n t π ' = sen ⁡ t + t c o s ( t ) π

Substituindo tudo na nossa integral:

∫ C x d x + y d y ( x 2 + y 2 ) 3 / 2 = ∫ C t c o s t π cos ⁡ t - t s e n t π + t s e n t π sen ⁡ t + t c o s t π t c o s t π 2 + t s e n t π 2 3 / 2 d t

Ok, eu sei que está algo muito grande, então vamos dar uma arrumada:

∫ C t cos ² ⁡ t - t ² c o s ⁡ ( t ) s e n t π ² + t sen ² ⁡ t + t ² s e n ( t ) c o s t π ² t 2 π ( s e n 2 t + c o s ² ( t ) 3 / 2

∫ C t cos ² ⁡ t - t ² c o s ⁡ ( t ) s e n t π ² + t sen ² ⁡ t + t ² s e n ( t ) c o s t π ² t 2 π ( s e n 2 t + c o s ² ( t ) 3 / 2

∫ C t cos ² ⁡ t + t sen ² ⁡ t π ² + t ² s e n ( t ) c o s t - t ² c o s ⁡ ( t ) s e n t π ² t 2 π 3 / 2

∫ C t π ² t 2 π 3 / 2 d t

Nossa, que diferença né? Aplicamos algumas identidades trigonométricas e ajeitamos umas contas. Vamos continuar ajustando:

∫ C t t 2 π 3 / 2 d t = 1 π 2 ∫ C t t 2 π 3 / 2 d t

Resposta

1 π 2 ∫ C t t 2 π 3 / 2 d t

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