USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1, Questão 2.5
Sejam I um intervalo aberto de R e uma curva diferenciável. Mostre que, se existe C ∈ R tal que , para todo t ∈ I, então γ(t) é ortogonal a γ’ (t), para todo t ∈ I. Vale a recíproca? Interprete geometricamente.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que a norma é dada por
sendo dito no enunciado que
.
Então, para mostrar que nessa situação γ(t) é ortogonal a γ’ (t), temos que mostrar que
Vamos lá!
Passo 2
Temos que:
derivando com relação a os dois lados dessa relação:
Temos que,
mostrando que γ(t) é ortogonal a γ’ (t).
Passo 3
Para verificar a recíproca, partimos de
reescrevendo e e integrando em :
Aplicando a raiz quadrada de ambos os lados
.
Assim mostramos que a recíproca é verdadeira.
Uma interpretação geométrica é que como γ(t) é ortogonal a γ’ (t), temos que para cada ponto teremos que a variação infinitesimal da curva será perpendicular a ela.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
No decorrer da questão.