Sejam I um intervalo aberto de R e γ :   I   →   R 2 uma curva diferenciável. Mostre que, se existe C ∈ R tal que | | γ ( t ) | | =   C , para todo t ∈ I, então γ(t) é ortogonal a γ’ (t), para todo t ∈ I. Vale a recíproca? Interprete geometricamente.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que a norma é dada por

| | γ ( t ) | | = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

sendo dito no enunciado que

| | γ ( t ) | | = x 2 ( t ) + y 2 ( t ) = C .

Então, para mostrar que nessa situação γ(t) é ortogonal a γ’ (t), temos que mostrar que

γ ( t ) . γ ' ( t ) = x ( t ) x ' ( t ) + y ( t ) y ' ( t ) = 0

Vamos lá!

Passo 2

Temos que:

x 2 ( t ) + y 2 ( t ) = C

derivando com relação a t os dois lados dessa relação:

x x ' + y y ' ( x 2 ( t ) + y 2 ( t ) ) 3 / 2 = 0

Temos que,

x x ' + y y ' = 0

mostrando que γ(t) é ortogonal a γ’ (t).

Passo 3

Para verificar a recíproca, partimos de

x x ' + y y ' = 0

reescrevendo x x ' = 1 2 ( x 2 ) ' e y y ' = 1 2 ( y 2 ) ' e integrando em t :

1 2 ( x 2 + y 2 ) = K

Aplicando a raiz quadrada de ambos os lados

x 2 + y 2 = C .

Assim mostramos que a recíproca é verdadeira.

Uma interpretação geométrica é que como γ(t) é ortogonal a γ’ (t), temos que para cada ponto t 0 teremos que a variação infinitesimal da curva será perpendicular a ela.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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