Exercícios de Cálculo - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Ver solução completaQuestão 3
Qual é o erro aproximado ao prever a demanda no dia
utilizando a série de Taylor até a terceira ordem?
Ver solução completaQuestão 4
Encontre a equação cartesiana da curva dada por
. Em seguida, determine onde essa curva intersecta a reta
.
Ver solução completaQuestão 6
Calcular a integral
, percorrendo
no sentido anti-horário, decidindo se é conveniente ou não usar o teorema de Green em cada caso:
c)
é dada por
.
Ver solução completac)
Questão 7
Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
-
Ver solução completaQuestão 8
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Ver solução completaQuestão 10
Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
Ver solução completaQuestão 11
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
.
Ver solução completaQuestão 13
Nas Exercicios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Ver solução completaQuestão 14
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Ver solução completaQuestão 18
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se
divide
e
divide
, então
divide
.
Ver solução completa(a) Se
Questão 19
Encontre os pontos pontos nos quais
é descontínua. Em quais desses pontos
é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?
Ver solução completaQuestão 21
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.
Ver solução completaQuestão 22
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
.
Ver solução completa(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
Questão 23
Suponha que você esteja subindo um morro cujo formato é dado pela equação
e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764).
Em qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Ver solução completaEm qual direção você deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do morro?
Questão 25
Calcule a integral indefinida como uma série de potência e determine seu raio de convergência.
Ver solução completaQuestão 27
(Cederj, EP2-Cálculo III-2017-1, Ex: 2) Considere a curva
obtida como interseção entre o parabolóide
e a esfera
. Determine: Uma parametrização para
;
Ver solução completaQuestão 28
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
Ver solução completa(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Questão 29
Determine o maior subconjunto de
para o qual as seguintes fun,
oes s ao cont
.
Ver solução completaQuestão 30
A latitude e a longitude de um ponto
no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas
como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo
passando pelo polo norte. O eixo
positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal (o meridiano por Greenwich, na Inglaterra) intercepta o equador. Então a latitude de
é
e a longitude é
. Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles (lat.
, long.
) a Montreal (lat.
, long.
). Tome o raio da Terra como 6730 km . (Um círculo máximo é o círculo de intersecção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.)
Ver solução completaQuestão 31
Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule
, onde
é uma curva fechada de classe
que envolve a origem, orientada no sentido anti-horário.
Ver solução completa(b) Calcule
Questão 35
Considere a função
.
Obtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
Ver solução completaObtenha as assíntotas verticais dessa função, caso existam.
Questão 36
Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde
é a altura da tora,
e
são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de
e
são respectivamente
ano,
/ano e
ano. Qual a taxa de aumento de
no instante em que
?
Ver solução completaQuestão 37
Questão 2 (4,0 pontos). Prove por indução que:
© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
lados possui pelo menos 2 triângulos exteriores.
Figura 1: Octógono triangulado e três triângulos exteriores.
Ver solução completa© Triangular um polígono é traçar diagonais pelo interior do polígono de modo que as diagonais não se cruzem e cada região formada é um triângulo (veja Figura 1). Um triângulo em um polígono triangulado é dito interior se no máximo um de seus lados é também um dos lados do polígono, e exterior caso contrário. Mostre que qualquer triangulação de um polígono com
Questão 38
Classifique cada sequência com termo geral dado por
abaixo em crescente ou decrescente (ou nenhum dos dois), limitada inferiormente, limitada superiormente, limitada (ou nenhum dos casos).
R.: limitada e crescente
Ver solução completaQuestão 39
Desenhe o campo de direções da edo
. Esboce a curva integral que passa pelo ponto
.
Ver solução completaQuestão 40
Um fazendeiro decide destinar uma área retangular de
do seu terreno aos seus três filhos. Essa área deve ser cercada e dividida em três partes iguais como indicado na figura a seguir. A cerca definida para a parte externa é cerca de arame e custa
por metro, e a cerca interna será de madeira e custa
50,00 por metro. Expresse o custo da cerca em função da variável
.
Ver solução completaQuestão 41
Encontre a série de Maclaurin de
e verifique que
para qualquer
, concluir que
para valores de
. Pode usar a Desigualdade de Taylor: Se
para
, então
para
.
Ver solução completaQuestão 43
Utilize um método adequado para resolver a integral indefinida. Em seguida verifique se a função encontrada está correta, utilizando derivada.
Observação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Verificação
Ver solução completaObservação: Ao usar um método de integração, além da resolução, você deve apresentar todas as etapas necessárias para seu desenvolvimento. Mudança de variável apresente u e du. Integração por partes indique u, dv, du e v. Decomposição em frações parciais apresente os cálculos para determinar as constantes.
Verificação
Questão 47
Às 14 h o velocímetro de um carro marca
. Às 14 h 10 min , marca
. Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 min a aceleração do carro era exatamente
.
Ver solução completaQuestão 49
Considere X o valor da diferença entre a quantidade de caras e coroas obtidas em 3 lançamentos de uma moeda honesta. Calcule os possíveis valores de X e as respectivas probabilidades.
Ver solução completaQuestão 50
Indique o domínio das seguintes funções complexas de variável complexa:
Ver solução completaQuestão 51
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
©
Ver solução completa©
Questão 54
Considere a função definida por
. Determine, caso existam:
© (1 ponto) os intervalos onde
possui concavidade para cima, concavidade para baixo e os pontos de inflexão de
;
Ver solução completa© (1 ponto) os intervalos onde
Questão 58
Sejam
e
números inteiros. Para as conjecturas abaixo, prove as verdadeiras e mostra contraexemplo para as falsas. (a) Se
é par, então
é par.
Ver solução completaQuestão 59
Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e encontre a solução nos casos afirmativos:
(b)
Ver solução completa(b)
Questão 63
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
sen
Ver solução completasen
Questão 65
Mostre que o limite
não existe, calculando o limite ao longo de qualquer lina
ou qualquer parábola
Ver solução completaQuestão 66
Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de
, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 4 m da parede?
Ver solução completaQuestão 67
Ache a seguinte integral
onde
. De um exemplo para ver como se aplica o método.
Ver solução completaQuestão 72
Determine qual das seguintes equações é exata, e nos casos em que forem exatas resolva-as:
(b)
Ver solução completa(b)
Questão 76
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(l)
e
.
Ver solução completa(l)
Questão 77
Questão 1. (4,0 pontos) Considere a função
a)
pontos) Qual é o domínio da
?
Ver solução completaa)
Questão 78
Utilizando as técnicas de integração de funções racionais e de integrais imediatas, calcule:
Resp.:
Ver solução completaQuestão 79
Um tanque contém originalmente 200 litros de água pura. Uma solução de
de um certo sal é introduzida no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto e a solução homogênea resultante sai do tanque com a mesma vazão. Depois de 12 minutos o processo é interrompido e água pura começa a ser despejada no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto; a solução sai novamente do tanque com a mesma vazão. Determine a quantidade de sal no tanque após mais 12 minutos.
Ver solução completaQuestão 82
Calcule: o volume do sólido
contido no cilindro
, abaixo do plano
e acima do paraboloide
;
Ver solução completaQuestão 84
Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10 m , . expresse a área
da janela como uma função de sua largura
.
Dica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é
e a área é
, em que
é o raio da circunferência.
Ver solução completaDica: Se preciso se o fato de que o comprimento da circunferência é
Questão 85
Determine os extremantes de
em
.
(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Ver solução completa(a) Sem utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Questão 87
Calcule os seguintes valores:
sen
. Dica: para os dois últimos itens, use a fórmula do seno (ou do cosseno) de soma/diferença.
Ver solução completasen
Questão 88
É importante expressar a resposta final de forma que o interessado possa efetivamente utilizar as informações. As principais informações a declarar são:
I. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é
.
Ver solução completaI. O resultado da medição e sua incerteza. Por exemplo: O comprimento da barra é
Questão 89
Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
. Demonstre os seguintes itens:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d) Seja
. Então,
.
(e)
.
Ver solução completa(a)
(b)
©
(d) Seja
(e)
Questão 92
Seja dada a matriz
, podemos afirmar que: (justifique)
b) A matriz
é antissimétrica, ou seja,
;
Ver solução completab) A matriz
Questão 93
Um mercado de concorrência perfeita está em equilíbrio de longo prazo com a curva de oferta expressa por
e a curva de demanda expressa por
. Se a curva de demanda for alterada para
, então, no curtíssimo prazo:
a. O preço de equilíbrio será igual a
.
b. O preço de equilíbrio será igual a
.
c. A quantidade produzida será igual a 13,33 .
d. O preço de equilíbrio é
.
e. A quantidade produzida diminui.
Ver solução completaa. O preço de equilíbrio será igual a
b. O preço de equilíbrio será igual a
c. A quantidade produzida será igual a 13,33 .
d. O preço de equilíbrio é
e. A quantidade produzida diminui.