6) Arraste e solte, nos campos correspondentes, o valor correto de cada elemento, conforme as opções disponíveis.

b) ∫ 0 4 ∫ - 4 - y - 2 2 4 - y - 2 2 x + y x 2 + y 2 d x d y = ∫ a b ∫ c d ? ? ? d r d θ ,   onde:

a = ? ? ? , b = ? ? ? , c = ? ? ? e d = ? ? ? ;

Passo 1

Falaaa... belezinha???

Repara que tem um r e um θ , então nessa questão vamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas polares.

Lembrando que, em coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E temos também o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ  

Passo 2

Vamos desenhar essa área de integração pra achar os limites de integração.

O θ varia de 0 até π .

Já o r varia de 0 até a equação do círculo, que é:

x 2 + y - 2 2 = 4

Em coordenadas esféricas:

r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ - 2 2 = 4

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ - 4 r sen ⁡ θ + 4 = 4

r 2 = 4 r sen ⁡ θ

r = 4 sen ⁡ θ

Então o r varia de 0 até 4 sen ⁡ θ

Passo 3

Calculando o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ

= r

Lembrando de trocar o que a gente ta integrando também:

x + y x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

= cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r

Daí ficamos com a integral:

∫ a b ∫ c d ? ? ? d r d θ = ∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ r   cos ⁡ θ + sen ⁡ θ r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ ( cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ) d r d θ

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 4 sen ⁡ θ ( cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ) d r d θ

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