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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de C2 - Profª Ana Paula - Lista 7 - Integrais Duplas, Questão 14b

Envolvendo coordenadas polares, calcule:

b) ∬ D e x 2 + y 2   d A , com D = x ,   y ∈ R 2 |   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,   - x ≤ y ≤ x ,   x ≥ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região D , que é formada por uma circunferência de raio 1 , x 2 + y 2 = 1 , e uma circunferência de raio 2 , x 2 + y 2 = 4 . Além disso, ele diz que y é limitado entre as retas y = - x e y = x , com x ≥ 0 . Olha só a nossa região em amarelo:

Então já sabemos que nosso raio varia no intervalo [ 1 ,   2 ] e que, como x ≥ 0 , o nosso ângulo θ varia no intervalo 0 , π 4 . Agora vamos precisar das equações de transformação para coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Usando essas equações, vamos descobrir nosso novo integrando e calcular a integral em relação a r e θ .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar transformando o nosso integrando em coordenadas polares:

e x 2 + y 2 = e r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

= e r 2

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha nos nossos limites de integração. Vimos no passo 1 que:

1 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π 4

Então, vamos montar nossa integral:

∫ 0 π / 4 ∫ 1 2 e r 2 r   d r d θ

Integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 π / 4 1 2 e r 2 1 2 d θ

Aplicando os intervalos de integração em r :

∫ 0 π / 4 1 2 e 4 - 1 2 e 1 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 4 e 4 - e d θ

= 1 2 e 4 - e ∫ 0 π / 4 d θ

Agora integrando em relação a θ :

1 2 e 4 - e θ 0 π / 4

E aplicando os limites de integração em θ :

1 2 e 4 - e π 4 - 0

= π 4 e 4 - e

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π 4 e 4 - e

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