2. Resolva as integrais duplas utilizando coordenadas polares:

a) ∫ ∫ D cos ⁡ x 2 + y 2 d y d x em que D é a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 que está no primeiro quadrante e acima da reta y = x .

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a integral dupla usando coordenadas polares, que é a mudança de variáveis:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E temos o Jacobiano:

J = r

E a integral dupla fica:

∫ ∫ J   f r , θ d r d θ

Passo 2

Vamos desenhar a região D :

Então temos que r vaia de 0 até 1 e, como é somente no primeiro quadrante e acima da reta, então θ varia de π 4 até π 2 .

Montando a integral dupla:

∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 d r d θ = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r 2 d r d θ

Passo 3

Usando substituição simples, podemos resolver a integral de dentro:

u = r 2

d u = 2 r   d r

Os limites ficam:

r = 0 → u = 0

r = 1 → u = 1

Então:

∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 r cos ⁡ r 2 d r d θ = ∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 cos ⁡ u d u 2 d θ

= ∫ π 4 π 2 sen ⁡ u 2 0 1 d θ

= ∫ π 4 π 2 sen ⁡ 1 2 d θ

= θ sen ⁡ 1 2 π 4 π 2

= π sen ⁡ 1 8

Resposta

π sen ⁡ 1 8

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