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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2b

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : d e l i m i t a d o   p e l o   c o n e   z 2 = x 2 + y 2   e   o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

C o n e : z 2 = x 2 + y 2 → z = ± x 2 + y ²

C i l i n d r o :   x 2 + y 2 = x → x 2 - x + y 2 = 0

x 2 - x + 1 4 - 1 4 + y 2 = 0

x - 1 2 2 + y 2 = 1 4

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . E ela vai ser a nossa superfície teto. No caso, vai ser a do nosso cone:

z = ± x 2 + y ²

Logo:

V = 2 ∬ R x 2 + y ² d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

x 2 + y ² = r c o s θ 2 + r s e n θ 2

x 2 + y ² = r

Com isso:

V = 2 ∬ R r ² d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

Reparem que o nosso raio varia de 0 a até a equação do cilindro, então:

x 2 + y 2 = x

r c o s θ 2 + r s e n θ 2 = r c o s θ

r 2 = r c o s θ → r = cos ⁡ θ

Então:

0 ≤ r ≤ cos ⁡ θ

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que só vamos trabalhar do lado direito, então,

0 ≤ θ ≤ π

Logo

V = 2 ∬ R r ² d r d θ = 2 ∫ 0 π ∫ 0 cos ⁡ θ r 2 d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 2 ∫ 0 π ∫ 0 cos ⁡ θ r 2 d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 cos ⁡ θ r 2 d r = 1 3 r 3 0 cos ⁡ θ

∫ 0 cos ⁡ θ r 2 d r = cos ⁡ θ 3 3

Ficando agora

V = 2 ∫ 0 π ∫ 0 cos ⁡ θ r 2 d r d θ = 2 3 ∫ 0 π cos ⁡ θ 3 d θ

V = 2 3 s e n θ - s e n θ 3 3 0 π

Resposta

V = 256 π 3

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