Utilize coordenadas polares para calcular

∬ R   x x 2 + y 2 d A

Onde

R = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 4   e   x ≥ 1

Passo 1

Bom, antes de tudo, vamos desenhar essa região R , para ter uma ideia melhor do que está acontecendo. Queremos a parte com x ≥ 1 do círculo de raio 2 :

Temos, então, essa região cinza.

Passo 2

Agora, vamos descrever essa região em coordenadas polares.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

Como o raio vai desde a reta x = 1 até a circunferência de raio 2 , vamos fazer a mudança polar na reta:

x = 1 = r cos ⁡ θ

r = 1 cos ⁡ θ

Logo

1 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2

Agora, para achar o intervalo de θ , precisamos descobrir onde a reta corta a circunferência, ou seja, onde:

r = 1 cos ⁡ θ = 2

Isso ocorre se

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3 - π 3

Logo, temos - π 3 ≤ θ ≤ π 3 .

Passo 3

Agora vamos montar a integral em coordenadas polares, fazendo a substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

∬ R   x x 2 + y 2 d A = ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 cos ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ r 2 r d r d θ

Temos, então:

= ∫ - π 3 π 3 ∫ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d r d θ =

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= ∫ - π 3 π 3 r cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 d θ =

= ∫ - π 3 π 3 2 cos ⁡ θ - 1 d θ =

= 2   s e n   θ - θ - π 3 π 3 =

= 2 3 2 - π 3 - - 2 3 2 + π 3 =

= 2 3 - 2 π 3

Resposta

2 3 - 2 π 3

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Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}