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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSC – Cálculo C – P1 – Questão 1

Calcule a integral

∬ D 1 - y 2 d A  

Sendo D o setor circular onde r ∈ 0,1 , θ ∈ π 4 , π 2

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral para resolver

∬ D 1 - y 2 d A  

A região D é o setor circular onde r ∈ 0,1 , θ ∈ π 4 , π 2

Mas como fazer isso??

Temos uma integral dupla com diferencial d A , então precisamos entender a região para usar o melhor conjunto de coordenadas.

Nossa região é um setor circular: coordenadas polares

Sempre que você encontrar uma simetria circular, trocar tudo para polares deixa a integral mais fácil!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é

∬ D 1 - y 2 d A  

Em coordenadas polares nosso integrando fica

y = r s e n θ

1 - y 2 = 1 - r s e n θ 2

Beleza? E o diferencial de área?

d A = r   d r   d θ

Tranquilo?

r ∈ 0,1 , θ ∈ π 4 , π 2

0 < r < 1

π 4 < θ < π 2

Bora montar essa integral?

∬ D 1 - y 2 d A   = ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 1 1 - r s e n θ 2 r   d r   d θ

#partiu resolver?

Passo 3

Agora vamos integrar! Primeiro em r , usando substituição simples

∫ π 4 π 2 ∫ 0 1 1 - r s e n θ 2 r   d r   d θ

u = 1 - r s e n θ 2

d u = - 2 r s e n 2 θ   d θ

Quando r = 0 ,   u = 1 , quando r = 1 ,   u = 1 - s e n 2 θ . Daí temos

∫ π / 4 π / 2 ∫ 1 1 - s e n 2 θ u 1 2 - 1 2 s e n 2 θ d u = ∫ π / 4 π / 2 - 1 3 s e n 2 θ u 3 2 1 1 - s e n 2 θ d θ  

Beleza? Bora aplicar nos limites e usar a identidade fundamental s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

- 1 3 ∫ π 4 π 2 1 - s e n 2 θ 3 2 - 1 s e n 2 θ d θ   = - 1 3 ∫ π 4 π 2 cos 3 ⁡ θ - 1 s e n 2 θ d θ  

Beleza?

Passo 4

Nosso passo final é resolver essa integração em θ . Vamos rescrever cos 3 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ c o s θ para poder usar que cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ , e simplificar nosso integrando

- 1 3 ∫ π 4 π 2 cos 3 ⁡ θ - 1 s e n 2 θ d θ   = - 1 3 ∫ π 4 π 2 c o s θ 1 - s e n 2 θ - 1 s e n 2 θ d θ  

Podemos separar em três integrais:

- 1 3 ∫ π 4 π 2 c o s θ s e n 2 θ d θ   + 1 3 ∫ π 4 π 2 c o s θ s e n 2 θ s e n 2 θ d θ   + 1 3 ∫ π 4 π 2 1 s e n 2 θ d θ  

A primeira integral vamos resolver por substituição simples u = s e n θ ,   d u = c o s θ d θ , a segunda e a terceira integração direta:

- 1 3 - 1 s e n θ π 4 π 2 + 1 3 s e n θ π 4 π 2 + 1 3 c o t g θ π / 4 π / 2

Beleza?

Por fim vamos aplicar nos limites de integração e simplificar ao máximo!

1 3 1 - 2 + 1 3 1 - 2 2 + 1 3 0 + 1 = 1 - 3 2 6

= 6 - 3 2 6

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

6 - 3 2 6

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