USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 9d
Calcule as integrais:
d) , onde é a região limitada pelas espiras e , com .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla sobre a região , que é a região limitada pelas espiras e . Só pra genter ter uma noção das curvas, as espiras seriam essas bonitinhas aqui em dois gráficos separados:
Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:
Esse é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Mas nesse caso, nossas curvas já estão em coordenadas polares, então a única transformação que vamos fazer é na função do integrando. Lembrando que é o nosso raio polar e é o nosso ângulo. Com base em tudo isso conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.
Vamos lá!
Passo 2
Repare que o enunciado já nos diz que a nossa região vai da espira menor até a espira maior . Assim, temos:
E ele também nos disse que o ângulo é dado pelo intervalo:
Assim, usando e , no integrando , vamos ter:
E conseguimos escrever nossa integral na forma:
Passo 3
Então, integrando primeiro em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
Passo 4
Agora integrando em relação a , vamos ter:
Aplicando os intervalos de integração em :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉