Calcule as integrais:

d) ∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y , onde D é a região limitada pelas espiras r = θ   e r = 2 θ , com 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral dupla ∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y sobre a região D , que é a região limitada pelas espiras r = θ   e r = 2 θ . Só pra genter ter uma noção das curvas, as espiras seriam essas bonitinhas aqui em dois gráficos separados:

Sempre que a função apresentar algum tipo de simetria rotacional, como é o caso dessa região, é interessante usar as coordenadas polares, porque elas vão facilitar nossos cálculos na hora de integrar. Pra isso, a gente conta com as relações:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

Esse J é o nosso Jacobiano e é muito importante não esquecer dele na hora da integral, sempre que fazemos alguma transformação de coordenadas. Mas nesse caso, nossas curvas já estão em coordenadas polares, então a única transformação que vamos fazer é na função do integrando. Lembrando que r é o nosso raio polar e θ é o nosso ângulo. Com base em tudo isso conseguimos obter nossos intervalos de integração e calcular a integral pedida.

Vamos lá!

Passo 2

Repare que o enunciado já nos diz que a nossa região vai da espira menor r = θ até a espira maior r = 2 θ . Assim, temos:

θ ≤ r ≤ 2 θ

E ele também nos disse que o ângulo é dado pelo intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, usando x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , no integrando ( x 2 + y 2 ) , vamos ter:

x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = r 2

E conseguimos escrever nossa integral na forma:

∫ ∫ D ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ θ 2 θ r 2   r   d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ θ θ r 3   d r d θ

Passo 3

Então, integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 2 π r 4 4 θ 2 θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 2 π 2 θ 4 4 - θ 4 4 d θ = 1 4 ∫ 0 2 π 16 θ 4 - θ 4 d θ

= 1 5 4 ∫ 0 2 π θ 4 d θ

Passo 4

Agora integrando em relação a θ , vamos ter:

15 4 ∫ 0 2 π θ 4 d θ = 15 4 θ 5 5 0 2 π

Aplicando os intervalos de integração em θ :

15 20 [ 2 π 5 - 0 5 ]

= 15 20 ( 32 π 5 )

= 24 π 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

24 π 5

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