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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2c

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : m a i o r   r e g i ã o   i n t e r i o r   à   e s f e r a   x 2 + y 2 + z 2 = 16   e   a o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 4 y

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

E s f e r a : x 2 + y 2 + z 2 = 16

C i l i n d r o :   x 2 + y 2 = 4 y → x 2 + y 2 - 4 y = 0

x 2 + y 2 - 4 y + 4 - 4 = 0

x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . E ela vai ser a nossa superfície teto. No caso, vai ser a da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 16

z = ± 16 - x 2 - y ²

Logo:

V = 2 ∬ R 16 - x 2 - y ² d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

16 - x 2 - y ² = 16 - r c o s θ 2 - r s e n θ 2

16 - x 2 - y ² = 16 - r 2

Com isso:

V = 2 ∬ R 16 - x 2 - y ² d x d y = 2 ∬ R 16 - r 2 r d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

Reparem que o nosso raio varia de 0 a até a equação do cilindro, então:

x 2 + y 2 = 4 y

r 2 = 4 r s e n θ → r = 4 s en ⁡ θ

Então:

0 ≤ r ≤ 4 s en ⁡ θ

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que só vamos trabalhar somente do eixo x para cima, então

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Logo

V = 2 ∬ R 16 - r 2 r d r d θ = 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 s en ⁡ θ 16 - r 2 r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 sen ⁡ θ 16 - r 2 r d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 4 sen ⁡ θ 16 - r 2 r d r = - 1 3 16 - r 2 3 / 2 0 4 s en ⁡ θ

∫ 0 4 sen ⁡ θ 16 - r 2 r d r = - 1 3 16 - 16 sen 2 ⁡ θ 3 2 - 16 3 2

∫ 0 4 sen ⁡ θ 16 - r 2 r d r = - 64 3 cos 3 ⁡ θ - 1

Ficando agora

V = 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 sen ⁡ θ 16 - r 2 r d r d θ = - 128 3 ∫ - π 2 π 2 cos 3 ⁡ θ - 1 d θ

Vamos integrar a última:

V = - 128 3 ∫ - π 2 π 2 cos 3 ⁡ θ - 1 d θ = - 128 3 s e n θ - s e n 3 θ 3 - θ - π 2 π 2

V = - 128 3 ∫ - π 2 π 2 cos 3 ⁡ θ - 1 d θ = - 128 3 4 3 - π

Resposta

V = - 128 3 4 3 - π

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