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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

Calcule ∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y , onde D é a região do primeiro quadrante situada entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Para resolver essa integral dupla, nós precisamos encontrar os limites de integração. Repara que o enunciado disse a região que estão integrando esta delimitada por no primeiro quadrante de duas circunferências. Sendo assim, é uma boa usar coordenadas polares para definirmos esses limites.

A mudança de coordenadas polares que faremos será:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Lembrando, que qualquer mudança de variável, implica em multiplicar a função da integral pelo Jacobiano. Nas coordenadas polares, o Jacobiano dessa transformação sempre será J = r .

Passo 2

Agora vamos analisar os intervalos de integração! O enunciado forneceu duas equações:

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

A primeira corresponde a uma circunferência de raio igual a 1 . Já a segunda, é uma circunferência de raio igual a 2 .

O problema também diz que a região está limitada no primeira quadrante. Então a região que estamos estudando será essa abaixo:

Repara que o raio r varia entre 1 e 2 e o ângulo θ entre 0 e π / 2 .

Passo 3

Agora que encontramos os limites de integração, vamos substituir na integral. Lembrando que a integral que estamos resolvendo tem essa cara:

∬ D   l n ⁡ ( x 2 + y 2 )   d x d y

Vamos, então, montar a integral, substituindo os valores que atribuímos a x e y :

∫ 1 2   ∫ 0 π 2 ln ⁡ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 r d θ d r =

∫ 1 2   ∫ 0 π 2 r ln ⁡ r 2 ⁡ d θ d r

Não podemos esquecer o Jacobiano. Esse r que está multiplicando a função vem do Jacobiano!

Passo 4

Agora partiu resolver a integral!

∫ 1 2   ∫ 0 π 2 r ln ⁡ r 2 ⁡ d θ d r

Vamos começar integrando em relação a θ :

= ∫ 1 2   r ln ⁡ r 2 θ θ = 0 θ = π / 2 d r =

= π 2 ∫ 1 2 r ln ⁡ r 2   d r =

Mas ln ⁡ r 2 = 2 ln ⁡ r . Então, no fim, fica:

= π 2 ∫ 1 2 2 r ln ⁡ r   d r

= π ∫ 1 2 r ln ⁡ r   d r

Passo 5

Para integrar em relação a r , vamos fazer a integração por partes, com:

ln ⁡ r = u

r = v '

O que nos dá:

u ' = 1 r

v = r 2 2

Substituindo esses valores em ∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

Temos:

∫ r ln ⁡ r d r = r 2 2 ln ⁡ r - ∫ 1 r × r 2 2 d r = r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4

Então, o valor da nossa integral é:

π ∫ 1 2 r ln ⁡ r   d r = π r 2 2 ln ⁡ r - r 2 4 r = 1 r = 2 =

= π 4 2 ln ⁡ 2 - 4 4 - 1 2 ln ⁡ 1 - 1 4 =

= π 2 ln ⁡ 2 - 1 + 1 4 =

π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

Resposta

π 2 ln ⁡ 2 - 3 4

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