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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFMG – Cálculo 3 – Lista 1 – Questão 7

Usando coordenadas polares calcule a integral dupla

∫ 0 1 ∫ 3 y 4 - y 2 3 x 1 + x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral iterada

∫ 0 1 ∫ 3 y 4 - y 2 3 x 1 + x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

E pediu para calcular essa integral usando coordenadas polares. E agora, o que fazer? Nossa pergunta de milhões precisa de uma resposta de milhões...

Fazendo um desenho da região! Pegando os limites de integração vemos que

3 y ≤ x ≤ 4 - y 2

0 ≤ y ≤ 1

E esboçando essa região, temos isso aqui

Percebemos que a região em polares precisa ser dividida em duas:

0 ≤ r ≤ c o s s e c θ

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

Lembrando que a reta y = 1 é r s e n θ = 1 → r = c o s s e c   θ . Beleza?

E depois

0 ≤ r ��� 2

5 π 6 ≤ θ ≤ π

Lembrando que o diferencial de área em polares é

d x   d y = r   d r   d θ

Agora é só trocar o integrando para coordenadas polares e integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A integral que precisamos resolver é essa

∫ 0 1 ∫ 3 y 4 - y 2 3 x 1 + x 2 + y 2 3 / 2 d x d y

Já temos os limites de integração em polares

0 ≤ r ≤ c o s s e c θ

π 6 ≤ θ ≤ 5 π 6

E também

0 ≤ r ≤ 2

5 π 6 ≤ θ ≤ π

Agora falta nosso integrando! A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é

x = r c o s   θ

y = r   s e n θ

Aí nosso integrando fica

3 x 1 + x 2 + y 2 3 / 2 = 3 r cos ⁡ θ 1 + r 2 3 / 2 = 3 r cos ⁡ θ 1 + r 3

Bora montar essa integral!

∫ π 6 5 π 6 ∫ 0 c o s s e c   θ 3 r cos ⁡ θ 1 + r 3 r   d r   d θ + ∫ 5 π 6 π ∫ 0 2 3 r cos ⁡ θ 1 + r 3 r   d r   d θ

= ∫ π 6 5 π 6 ∫ 0 c o s s e c   θ 3 r 2 cos ⁡ θ 1 + r 3   d r   d θ + ∫ 5 π 6 π ∫ 0 2 3 r 2 cos ⁡ θ 1 + r 3   d r   d θ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ π 6 5 π 6 ∫ 0 c o s s e c   θ 3 r 2 cos ⁡ θ 1 + r 3   d r   d θ + ∫ 5 π 6 π ∫ 0 2 3 r 2 cos ⁡ θ 1 + r 3   d r   d θ

Usando substituição simples

u = 1 + r 3 → d u = 3   r 2   d r

Quando r = 0 → u = 1 , quando r = 2 → u = 5 daí temos

∫ 0 π 4 ∫ 1 5 1 u d u 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 d θ ln ⁡ u 1 5 = 1 2 ∫ 0 π 4 ln ⁡ 5 d θ

Tranquilo? Agora vamos resolver essa integral em θ

Assim temos

= 1 2 ln ⁡ 5 .   θ 0 π 4 = 1 2 ln ⁡ 5 . π 4 = π 8 ln ⁡ 5

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

π 8 ln ⁡ 5

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